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五、经典极限 据薛定谔方程有： 若 可看成小量，并设 等，则上方程中不含 的部分有 与分析力学的Hamilton-Jacobi方程相同，其中 是Hamilton的主函数。 因此，薛定谔波力学在 极限下给出经典力学。 若将S解释成Hamilton的主函数，对不含时Hamilton量，主函数S具有可分离的形式， 称为Hamilton的特征函数。 六、半经典 WKB 近似：一维定态薛定谔方程的近似解 经典Hamilton-Jacobi方程的解是 对定态 由连续性方程 得 故 与经典中在某处找到粒子的几率反比于速度一致 WKB解： 七、WKB近似成立条件： 条件对应于： 或者说 必须比势变化的特征长度小,即半经典图像在短波极限下是可信的。 八、完整的WKB解 对 区,有 对 上述解不成立,需要将上述两解以适当方式连接。标准步骤是： 1．在 附近将V x 线性化。 2．解微分方程 得与 阶Bessel函数相关的严格解。该解适用于x0附近 3. 该第三个解需通过选择合适的积分常数与另两解匹配 这里不讨论这些步骤的细节而只给出结果：波函数在E V x 区振荡，在E V x 区指数衰减。 匹配条件 I与II区： II与III区： 波函数的唯一性意味着这两个cos的变量最多差π的整数倍。故有自洽性 量子化 条件： 除 部分外,该条件与旧量子理论中的量子化条件相同 九、量子化条件应用举例 势阱 中粒子的近似能级 经典转折点为： 由于无限高势垒，解在 x 0区的解，可通过求解修正势, 的奇对称解得到 该问题的WKB转折点为, 量子化条件变为 即 ? 与本征能态的严格解： 非常接近 近似解略低于严格解，误差随能级的增高而变小 （ -λ是Airy函数为零的根） 十、遂穿几率 由WKB解知： 粒子速率： 碰撞频率：f v/2x0 遂穿几率： 由 , 对 两个实用基本定理 1. 一维束缚态无兼并 2. （实）哈密顿本征空间波函数总可选为实函数 作业：2.24，2.26