3.1(多维随机变量及其联合分布)解析.ppt

第3章 多维随机变量及其分布 　　在实际问题的研究中，只用一个随机变量往往是不够的． 　　例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身高和体重两个随机变量来描述； 　　研究某地区的气候状况需要考虑温度、湿度等多个随机变量； 　　研究国民经济状况，就需要用GDP、固定资产投资、各产业产值、人均消费额等很多随机变量来描述． 　　本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用． 【保险中的理赔总量模型】 保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每次的理赔额和全年理赔总量均为随机变量．某保险公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量，用Xi表示某类保险单的第i次理赔额，N表示在一个会计年度所有这类保单发生理赔次数，Y表示这一年中对这类保单的理赔总量．建立如下理赔总量模型： 现有一组保单，假设在一年内可能发生的理赔次数为0，1，2和3，相应的概率为0.1，0.3，0.4和0.2．每张保单可能产生的理赔额为1，2，3（万元），相应的概率为0.5，0.4，0.1，试分析理赔总量Y的概率分布，并求理赔总量超过6万元的概率． 第3章 多维随机变量及其分布 　3.1 多维随机变量及联合分布 　3.1.1 多维随机变量的概念 定义3.1 如果X1(?)，X2(?)，…，Xn(?)是定义在同一个样本空间? = {?}上的n个随机变量，则称 为n维随机变量或n维随机向量，简记为X = (X1，X2，…，Xn)． 注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上，对于不同样本空间上的两个随机变量，本章将不涉及这类问题． 3.1.1 多维随机变量的概念 【例3.1】在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点?）的衣食住行四个方面，若用X1(?)，X2(?)，X3(?)，X4(?)分别表示衣食住行的花费，则(X1，X2，X3，X4)就是一个四维随机变量． 　逐个地来研究每个随机变量的性质是不够的，还需要将(X1，X2，…，Xn)作为一个整体来进行研究． 本章中主要研究二维随机变量，二维以上的情况可类似地进行. 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数 定义3.2 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，事件{X ? x}，{Y ? y}同时发生的概率 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数． 　如果将二维随机变量(X，Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在以点(x，y)为右上角的无穷矩形内的概率. 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数 容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质: (1) 单调性：F(x，y)分别对x或y是单调不减的，即 当 时，有 当 时，有 ． (2) 有界性：对任意的x和y，有 ，且 3.1.2 二维随机变量及联合分布函数 (3) 右连续性：对每个变量是右连续的，即 对任意的x0，有 ； 对任意的y0，有 ． (4) 非负性：对任意的a b，c d有 事实上，具有上述四条性质的二元函数F(x，y)一定是某个二维随机变量的分布函数． 注意，一个二元函数F(x，y)满足前三条性质时不一定满足性质(4) ．(见例3.2) 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律 定义3.3 如果二维随机变量(X，Y)只取有限个或可列个数对(xi，yj)，则称(X，Y)为二维离散型随机变量，称 为(X，Y)的分布律，或X与Y的联合分布律． 也可用如下表格形式表示(X，Y)的分布律． 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律 联合分布律有如下性质： (1) 非负性： (2) 归一性： 求二维离散型随机变量(X，Y)的分布律，关键是写出(X，Y)所有可能取到的数对及其发生的概率． 3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律 【例3.3】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为0.2，乙每次命中率为0.5．以X、Y分别表示甲、乙各射击两次的命中次数，试求(X，Y)的分布律． 解：由题知，X、Y均可取0，1，2．由于甲、乙是独立进行射击，所以{X = i}与{Y = j}两事件相互独立，i，j = 0，1，2．于是 P{X = i，Y = j} = P{X = i}P{Y = j