4-偏微分方程及其求解实例解析.ppt

偏微分方程数值求解方法 1 有限差分法 finite difference method 将求解域内划分一定数目的网格 交叉点为网格点或节点 ,在所有节点上,PDE方程用有限差分近似代替，得到代数方程组。这种方法数值稳定性好，但是不能获得节点之间的解，对不规则几何形状或导热系数突变的情况不适合。 偏微分方程数值求解方法 2 正交配置法 method of weighted residuals 首先选择一个多项式作为试函数，将此试函数代入微分方程，求出多项式的根作为配置点，令在各配置点试函数代入微分方程后的残差（或余量）为零，得到关于多项式系数的代数方程组，然后求解此方程组得到多项式中各项的系数，得到的多项式即为微分方程的近似解析解。 偏微分方程数值求解方法 3 MOL法 method of lines 将一个自变量当成连续变量，对其余的自变量用有限差分法或者正交配置法进行离散，从而把偏微分方程转变为常微分方程组，然后用龙格－库塔法积分求解。常用于求解一维动态和二维稳态PDE方程。 偏微分方程数值求解方法 4 有限元法 finite element methods,FEM 把求解域先划分为大量的单元（elements），其中任意大小和方向的三角形网格尤其适用于二维的情况。三角形顶点称为节点（nodes），并与相邻单元相连接。将PDE离散为代数方程组求解。优点是易于处理复杂几何区域，易于与各种边界条件组合使用，可同时提供节点和整个求解域内的解。 有限差分法求解偏微分方程 差分格式： 有限差分法求解偏微分方程 差分格式： 有限差分法求解偏微分方程 差分格式： 1、显式差分法 2、隐式差分法 function PDE1_FDM_im % 显式差分法求解一维热传导方程 clear all;clc n 6;% 空间节点数 m 8;% 时间节点数 T 1,1:m 100;T n,1:m 0; % 边界条件 T 1:n,1 0; % 初始条件 alpha 2; % 热扩散系数,m/s a 10; % for x坐标长度,cm b 8; % for 时间长度,s h a/ n-1 ; % 空间步长 k b/ m-1 ; % 时间步长 r alpha.*k./h.^2; for j 2:m % for time for i 2:n-1 % for x T i,j+1 1-2.*r .*T i,j +r.* T i+1,j +T i-1,j ; end end T8 T 1:n,m 偏微分方程的求解实例1: 恒靠近速度时两等直径液滴形成的液膜内流 体排液速率的模拟—问题描述 h r,t ~t ? r function CVFD clear all;clc; format long e h0c 2.8e-6; % 初始液膜中心厚度, m mu 0.3; % 液相流体的粘度, Pa.s rb 0.0015; % 液滴半径,m theta 0.03; % 液膜的表面张力, N/m ra 0.5*rb; % 膜出口压力为零区域 V 2e-6; % 膜出口ra处靠近速度m/s m 100; r [0,0,linspace 0,ra,m ]; n m+2; dr ra./ m-1 ; % 节点的步长,Δr,m h0 h0c+r.^2./rb; % 初始膜厚度m h0 1 h0 5 ;h0 2 h0 4 ; function PDE1Dd_CrankNicolson % 使用Crank-Nicolson有限差分方法求解一维动态传热模型 c1 100; c2 0; a 10; b 8; alpha 2; n 6; m 8; U CrankNicolson @ic,c1,c2,a,b,alpha,n,m %