3.1多维随机变量及其分布解析.ppt

例3 每周一题8 附例 y = x 1 0 x y 解 令 D (1) x+y=1 y = x 1 0 x y (2) 0.5 x+y=1 y = x 1 0 x y y = x 1 0 x y 0.5 当0? x 1, 0? y x 时， 1 (3) 当x0 或 y0 时, F(x,y) = 0 当0? x1, x? y1时， v=u 1 0 u v 当0 ? x 1, y ? 1时， v=u 1 0 u v 1 当x ? 1, 0 ? y 1时， v=u 1 0 u v 1 当 x ? 1, y ? 1 时， F (x,y) = 0, x 0 或 y 0 y4 , 0 ? x 1, 0 ? y x ， 2x2y2–y4, 0 ? x 1, x ? y 1， 2x2–x4 , 0 ? x 1, y ? 1， y4 , x ? 1, 0 ? y 1， 1, x ? 1, y ? 1， （也可写成五段） (4) = 0, x 0， 2x2–x4 , 0 ? x 1, 1, x ? 1 0, y 0 y4 , 0 ? y 1, 1 , y ? 1 = 也可以直接由联合d.f.求边缘 d.f. 再积分求边缘分布函数. 例如 v=u 1 0 u v 1 常用连续型二维随机变量分布 G 是平面上的有界区域, 面积为 A 若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为 则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布 区域G 上的均匀分布，记作U ( G ) 常见连续分布 则 ? G1 ? G, 设G1的面积为A1, 若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布, 边平行于坐标轴的矩形域上的均匀 分布的边缘分布仍为均匀分布 例6 设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布, f ( x, y ); P ( Y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率. 例6 求 解 (1) y=x 1 0 x y 1 G (2) y = x2 (3) y = x 1 0 x y 1 0.3 若r.v.( X ,Y ) 的联合为 则称( X ,Y ) 服从参数为?1,?12,?2,?22,? 的 正态分布, 记作( X ,Y ) ~ N(?1,?12;?2,?22;? ) 其中?1,?20, -1 ? 1 . 二维正态分布 二维正态分布 二维正态分布图 二维正态分布剖面图 正态分布的边缘分布仍为正态分布 令 B 为正定矩阵 再令 则二维正态联合d.f.为 推广 设 r.v.Z ~指数分布E(1) ，引入随机变量： 求 (X , Y) 的联合分布律 第 8 周 问 题 * 在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述. 例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布. 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就 §3.1 二维随机变量及其分布 定义 设?为随机试验的样本空间， 则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量 讨论： 二维r.v.作为一个整体的概率特性 其中每一个r.v.的概率特性与整体 的概率特性之间的关系 §3.1 二维随机变量的联合分布函数 定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对于 定义了一个二元 实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v. ( X ,Y ) 的分布函数，即 (记为 ) 的概率 任何一对实数( x , y ), 事件 分布函数的几何意义 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率. (x, y) x y 联合分布函数的性质 x y (x, y) x y ① F性质 x y x y 固定 x , 对任意的 y1 y2 , 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) 对每个变量单调不减 ② 对每个变量右连续 ③ F (x, y1) ? F (x, y2)