3.1数学期望解析.ppt

时,所获利润期望值最大. 当θ=10 000, m = 500元, n = 2000元时, 生产2231件产品时,使获利润期望值最大. 思考题： X 服从柯西分布 期望存在吗? 练习题： 1. r.v.ξ的分布函数为 2.袋中有6个红球,4个白球,任取一球记住颜色后再放回,这样一共进行了四次,记X为红球出现的次数,则E( X ) =( ) (1) 1.6 (2) 0.4 (3) 2.4 (4) 9.6 3. 已知离散型随机变量X 的分布函数为 4.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布,则随机变量 的数学期望 6. 设随机变量ξ的密度函数 7. 设X 的密度函数 求常数 c 及E(X). 求E(ξ) 8. 调查结果表明,某地区外贸工作人员年龄 X 的概率密度函数为 求该地外贸工作人员的平均年龄. 10.设随机变量X 的密度函数为 11. 一家商店采用科学管理,由过去的销售记录知,某商品每月销售6件,而且销售件数服从泊松分布.为了以95%以上的把握保证这种商品不脱销,问商店在月底至少应进这种商品多少件? 12. 某推销员与工厂约定,用船把一箱货物运到目的地,按期无损毁运到,得佣金10元,把握60%; 不按期运到,扣佣金2元,不按期的可能性20%; 货物有损毁运到,扣佣金5元,货物有损的可能性10%; 不按期又有损毁运到,扣佣金16元,不按期又有损毁运到的可能性10%; 求推销员从每箱期望得到多少? 13. 圆的直径 ,求圆面积 的数学期望. 14. §3.1 数 学 期 望 返回目录 数学期望是指用概率分布算得的一种加权平均. 例 分赌本的问题 1654年George Brossion 赌输了钱,找Blaise Pascal 甲,乙两个赌徒相约用掷硬币赌钱,谁先赢三次得全部赌本100法郎,当甲赢了两次,乙赢了一次,不再赌下去了,如何分赌本? 再玩二次结束这次赌博. 四种结果是等可能的,甲赢法郎数为X 甲期望得到 定义 设离散型随机变量 X 的分布律 级数的和与各项的次序无关; 如 绝对收敛, 则称级数 的和为X 的数学期望,记作E (X). 1* 也称为X 的均值或分布的均值; 则 绝对收敛, 2* 级数 收敛, 2* 几何意义:平面图形重心的横坐标. 3* 不是绝对收敛, 发散, 称 X 的数学期望不存在; 4* 概率是权. 如 绝对收敛,则称X 的数学期望存在, 称 为X 的数学期望,记作E (X) 例1 离散型随机变量 X 的分布律为： 求 E(X) 例2 X ~π(λ) ,求E (X) 解: X 的分布律 例3 随机变量X 的分布律 求证E (X)不存在. 发散,∴E (X)不存在. 证明: 例4 已知 求a 和 b 的值. 解: 例5 X ~ U (a,b) , 求E (X) 解: X 的密度函数是 例6 设有5个相互独立的元件,其寿命服从参数为θ的指数分布,其概率密度为： (1) 将这5个元件组成一个串联系统,求该系统的平均寿命； (2) 将这5个元件组成一个并联系统,求该系统的平均寿命. 解：Xk 表示第 k 个元件的寿命， 相互独立,同服从参数为θ的指数分布. (1) 记 Y 为串联系统的寿命, (2) 记 Z 为并联系统的寿命， 例7 某电子元件的使用寿命为X 若规定使用在500小时以下为废品,产值为0元; 在500 ~ 1000小时为次品,产值为10元; 在1000 ~ 1500小时为二等品,产值为30元; 在1500小时以上为一等品,产值为40元; 求平均产值. 解: 设产值为Y, Y 的取值为0,10,30,40, 定理 设 Y 是随机变量 X 的函数, Y = g(x) ( g 是连续函数). 若 绝对收敛,则 Y 的数学期望存在, 若 绝对收敛,则 Y 的数学期望存在, 证明: 定理的重要意义: 求E(Y) 时,不必知道Y 的分布,只要知道 X 的分布就可以了. 例8 设随机变量X 的分布律为 例9 风速V 在 ( 0, a ) 上服从均匀分布,概率密度是 设机翼上受到的压力W 是V 的函数, 求W 的数学期望. 推广 设 Z 是二维随机变量( X,Y