3.1数值积分公式的概念解析.ppt

第三章 数值积分 --- 函数插值的直接应用 背景：在工程计算中，常需要计算定积分： 从微积分中可知，利用Newton-Leibnitz公式去计算的定积分是很少的。原因是，面临着实际困难： 例如： （情形1.） 1）被积函数的原函数无法利用初等函数表示。 考虑一个实际问题: 建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的. 4英尺 1英寸 ? 有解析表达式； ? f(x)的原函数F(x)可用初 等函数表示． 上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用原函数方法来计算. 假设要求波纹瓦长4英尺（=48英寸），每个波纹的高度（从中心线）为1英寸，且每个波纹以近似2π英寸为一个周期。求制作一块波纹瓦所需铝板的长度L？ 这个问题就是：要求由函数f(x)=sinx给定的曲线，从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道，所求的弧长可表示为 2）即使可表示，但原函数过于复杂，也不便于计算其函数值。 这些都说明：通过原函数来计算定积分有它的局限性，因此，有必要：利用给定的条件，研究定积分的近似计算问题！ 4）被积函数本身都没有具体的解析表达式（例如，是由实验测量或数值计算给出的数据表）。 一、求积公式的具体构造问题 几何意义：求定积分就是求曲边梯形的面积，即由x=a，x=b，y=0，y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。 x y a b y=f (x) 3）即使可表示，但求原函数比较困难。 困难：曲边梯形有一条边y=f(x)是曲线的。 提出问题： 可能的条件：曲边y=f(x)在某些节点 上的函数值 。 由积分中值定理可知： 也就是说，底为b-a，而高度为 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积。 称为区间[a,b]上的平均高度。 困难：点 的具体位置一般是不知道的，因而难以准确计算出 的值！ 逼近的想法！ 工具： 只要对平均高度 提供一种算法(估计)，相应地便获得一种数值求积方法！ 例如：简单地， 分别取成： 这样建立的求积公式分别是：矩形公式 ！从多视角分析上面公式背后隐藏的想法？ Taylor展开式 ? ? ? 推广： 然后，构造出具有如下形式的求积公式： = In( f ) 使积分公式 具有通用性 这类数值积分方法通常称作机械求积， 其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿——莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难！ 两个问题： 1、系数Ai如何选取？（即选取原则？） 2、若节点可以自由选取，取什么点比较好？ 二、 精确性程度的衡量标准问题 引入代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念． 定义 1 如果求积公式对一切次数≤m的多项式都准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称求积公式具有m次代数精度． 一般地，欲使求积公式 具有m次代数精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，即得 若求积节点 给定，则可确定相应的求积系数 ，使求积公式至少具有m=n次代数精度！ 这是一个具有2n+2个未知数，m+1个方程的方程组。 构造求积公式本质上是解线性方程组的问题！ 解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有 3h=A0+ A1+ A2 h2=0 + A1h+ A22h 9h3=0 + A1h2+ A24h2 2 9 故求积公式的形式为 解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 9 4 3 4 ? f(x)dx ? f(0) + f(2h) 3h 4 9h 4 3h 0 由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度; 而当f(x)=x3时,公式的左边= h4, 右边=18h4, 公式的左边?右边,说明此公式对 f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度. 81 4 例子：试构造形如 ? f(x)dx ? A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数. 3h 0 思考 验证求积公式的代数精确度次数 三、求积公式的收敛性与稳定性 定理3表明，只要求积系数Ak＞0 (