3.1双曲线及其标准方程解析.ppt

§3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程 生活中有很多双曲线的图形.如何求双曲线的方程？通过今天的学习，我们来解决这个问题. 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.（重点） 2.了解双曲线标准方程的推导过程.（难点） 3.会利用定义和标准方程解决一些简单的问题. （难点） 探究点1 双曲线的定义 问题1：椭圆的定义？ 提示：平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数 2a ( 2a|F1F2|0)的点的轨迹. 问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？ 提示：双曲线的一支. 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上， F1到F2的长为2c(c0).把笔尖放在 拉链开口的咬合处M，M与 点F1的距离减去M与点F2 的距离所得的差等于2a (ca0),随着拉链逐渐拉 开或者闭拢，笔尖就画出 一条曲线.这条曲线上的点 M满足下面的条件： |MF1| - |MF2| = 2a 如果使点M到点F2的距离减去点M到点F1的距离所得的差等于2a，就得到另一条曲线，这条曲线上的点M满足下面的条件 |MF2| - |MF1| = 2a 这两条曲线合起来叫作双曲线，每一条叫作双曲线的一支. ① 两个定点F1，F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. o F 2 F1 M 平面内到两定点F1，F2的距离_____________等于常数（大于___且小于________）的点的集合叫作双曲线. 一、定义: | |MF1| - |MF2| | = 2a 之差的绝对值 零 ︱F1F2︱ 思考1：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗? 提示:不一定，在平面内,到两个定点F1,F2的距离差的绝对值为2a，只有2a｜F1F2｜时才为双曲线. 思考2：若2a＝0,轨迹是什么图形？ 提示：线段F1F2的垂直平分线 思考3：若2a=2c,轨迹是什么？ 提示：两条射线 1. 建系设点. F 2 F1 M x O y 2. 写出适合条件的点M的集合. 3. 用坐标表示条件，列出方程. 4. 化简. 求曲线方程的步骤： 二、方程的推导 探究点2 双曲线的标准方程 F 2 F 1 M x O y 如图，给定双曲线，它的焦点 为F1，F2 ，焦距|F1F2|=2c （c0)， 双曲线上任一点到两焦点之差的绝对 值为2a(0ac),以直线F1F2为x轴， 线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立 平面直角坐标系，焦点F1，F2的坐标 分别为F1（-c，0）， F2（c，0）.则双曲线的标准方程如何求？ 提示：设M（x,y）是双曲线上任意一点，由双曲线的定义，点M满足 |MF1| - |MF2| = 2a或-2a. 因为 所以 化简，得（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）. 由双曲线的定义可知，2c2a0,所以c2-a20. 设c2-a2=b2(b0),代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2, 即 这就是说，双曲线上点的坐标都满足这个方程；反之，可以证明，以这个方程的解为坐标的点都在双曲线上.这个方程叫作双曲线的标准方程.这条双曲线的焦点在x轴上，其坐标为F1（-c，0）， F2（c，0） 如果焦点F1，F2在y轴上，利用同样的方法，可以得到双曲线的标准方程为 F 2 F1 M x O y O M F2 F1 x y 【提升总结】双曲线的的两种形式 思考1：若已知一个曲线的轨迹是双曲线，如何求其标准方程呢？ 提示：设出其双曲线的标准方程，求出参数a,b的值即可. 思考2：在设双曲线标准方程时，首先应注意什么问题？ 提示：应注意双曲线焦点的位置，是在x轴上还是在y轴上. 练一练：写出以下双曲线的a，b，c及焦点F的坐标 F(±5,0) F(0,±5) a=4,b=3,c=5; a=3,b=4,c=5; a=4,b=3,c=5; a=3,b=4,c=5; F(±5,0) F(0,±5) 例1 已知双曲线的两个焦点坐标分别为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝 对值等于6，求双曲线的标准方程. 因为2a = 6,c=5 所以a = 3,c = 5 所以b2 = 52-32 =16 所以所求双曲线的标准方程为： 根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为： 解: 例2 相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s,试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程. 【变式练习】如图，在海岸上有两码头A，B相距10 km，海上一轮船位于P处，经测算，恰在以A，B为焦点的双曲线上，