05第五节定积分的应用解析.doc

第五节 定积分的应用 分布图示 ★ 面积表为定积分的步骤 ★ 定积分的微元法 ★ 定积分的几何应用 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 定积分的物理应用 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 例18 ★ 定积分在经济分析中的应用 ★ 例19 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-5 内容要点 一、定积分的微元法 定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式. 可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下： (1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元 ； (2) 由微元写出积分 根据写出表示总量的定积分 微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 二、定积分的几何应用 三、定积分的物理应用 四、定积分在经济分析中的应用 （1）需求函数 （2）总成本函数 （3）总收入函数 例题选讲 例1 (E01) 求由和所围成的图形的面积. 解 画出草图（见图5-5-5），面积微元: 所求面积: 例2 (E02) 求由抛物线与直线所围成的面积. 解 如图5-5-6，并由方程组 解得它们的交点为 选为积分变量, 则的变化范围是任取其上的一个区间微元则可得到相应面积微元 从而所求面积 例3 (E03) 求椭圆所围成的面积. 解 椭圆面积: 面积微元: 例4 (E04) 求双纽线所围平面图形的面积. 解 面积微元: 所求面积: 例5 (E05) 求心形线所围平面图形的面积 解 面积微元: 所求面积: 例6(E06) 计算由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积. 解 如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆 及轴所围成的图形绕轴旋转而成的立体 . 取为自变量，其变化区间为 任取其上一区间微元 相应于该区间微元的小薄片的体积， 近似等于底半径为高为的扁圆柱体的体积， 即体积微元故所求旋转椭球体的体积为 特别地，当时，可得半径为的球体的体积 例7 (E07) 求由曲线 所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 画出草图,并由方程组 解得交点为及 于是,所求绕轴旋转而成的旋转体的体积 所求绕轴旋转而成的旋转体的体积 例8 (E08) 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（下图），计算这平面截圆柱体所得立体的体积. 解 截面面积: 体积微元: 所求体积: 例9 (E09) 求圆的周长. 解 将圆的方程化为参数方程 则所求圆周长 例10 (E10) 求曲线上相应于从到的一段弧的长度. 解 弧长微元: 所求弧长: 例11 (E11) 求心形线的全长. 解 如图，此心形线关于极轴对称. 例12(E12) 设40牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长成15厘米, 问需要作多大的功才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从15厘米处再拉长3厘米? 解 如图，根据胡克定律，有 当弹簧从10厘米拉长到15厘米时， 它伸长量完为 5厘米＝0.05米. 因有即 故得 于是可写出 这样，弹簧从15厘米拉长到18厘米， 所作的功为 (焦). 例13 (E13) 把一个带电量的点电荷放在轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方, 那么电场对它的作用力的大小为 如图所示，当这个单位正电荷 在电场中从 处沿轴移动到处时, 计算电场力对它所作的功. 解 取为积分变量，任取一小区间 功微