3.3多维随机变量函数的分布解析.ppt

copyright 2006 ALL RIGHTS RESERVED. 3、变量变换法 The End！ Thank You！ u z 补充说明： 和的公式[卷积公式]是变量变换法的特殊情形. 问题：和的公式可以如下推广吗？ 不可以！ 正确解法： 或用分布函数法，如下 另解 * * *应用数学学院 概率论与数理统计 * Department of Mathematics 概率论与数理统计 主讲人：宣平 2012年.秋学期 第三节 多维随机变量函数的分布 一、二维离散随机变量函数的分布 如果(X,Y)是二维随机变量，且分布函数已知， Z=g(X,Y)是关于X和Y的二元函数，则Z是一个一维 随机变量，当然也存在着分布问题，而且与(X,Y) 的分布有着必然的联系。 解： 常用离散分布的可加性 思考：具有可加性的分布也具有可减性吗？ 泊松分布的可加性的证明 二项分布可加性的证明 补充说明 1、分布的可加性一般可以推广到多个随机变量和 的形式。 2、具有可加性的分布，对减法一般不成立。 3、对二项分布的可加性，可以从分布的定义理解。 X——A出现的次数 Y——A出现的次数 先做了n 次试验 后做了m 次试验 Z=X+Y——A出现的总次数 二、连续随机变量函数的分布 1、和的分布 ——连续场合下的卷积公式 例3 设X～U(0,1),Y～Exp(1),且X,Y相互独立. 求Z＝X+Y的密度函数。 解：X和Y的密度函数分别是 2、分布函数法 注:分布函数法是普遍适用的一种重要方法. 例3 设X～U(0,1), Y～Exp(1), 且X,Y相互独立. 求Z＝X+Y的密度函数。 分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性，对任意的Z=g(X,Y)都适用，且不需要X,Y相互独立的条件。而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布时，必须注意定理或公式应满足的条件。 因此，该方法是最重要的一种方法，必须熟练掌握。同时，也是证明其他方法的依据。 补充说明： 利用极坐标计算 补充：随机变量的可加性 补充：离散+连续 的分布 ——全概率公式 设（X,Y）的联合密度函数为p(x,y)，如果函数 有连续偏导数，且存在唯一反函数 则（U,V）的联合密度函数为 注：此方法即是二重积分的变量变换法，证明见数学分析——二重积分的换元法。 特别地，若U=g(X,Y)，可补充V=X(或V=Y)， 先求出(U,V)的联合密度，再求出U的密度函数, 此方法称为增补变量法。 这也是求随机变量函数分布的一种有效方法。 对于较复杂随机变量函数的分布，通常都可以 利用增补变量法，如求积、商等分布问题。 t 0 1 z 1 * *