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(第三章 扭转
第三章 扭转 §3-1 扭转及其工程实例 §3-2 薄壁圆筒的扭转 §3-3 动力传递与扭矩 §3-4 圆轴扭转时的应力计算·强度条件 §3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件 由强度条件设计轴直径: 选:d = 50 mm Tnmax=955N·m 例 某牌号汽车主传动轴,传递最大扭矩T=1930N·m,传动轴用外径D=89mm、壁厚?=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢,[?]=70MPa.校核此轴的强度。 (1)计算抗扭截面系数 cm3 (2) 强度校核 满足强度要求 扭转角:是指两个横截面绕轴线的相对转角。 由: 知: 所以 (rad) GIp :圆轴的抗扭刚度,GIp越大,扭转变形越小。 为了消除l的影响,引入单位长度扭转角?,且 (rad/m) 扭转的刚度条件: (°/m) (rad/m) * 轴:是承受扭转变形的杆件。 攻丝丝锥 桥式起重机的传动轴 扭转变形 1.受力特点:在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等,方向相反的外力偶——扭转力偶。 2.变形特点:各横截面绕杆的轴线发生相对转动,出现扭转变形。 纯扭转:若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量,则这种受力形式称为纯扭转。 扭转有如下特点: 1.薄壁圆筒扭转时的切应力 表明: 横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力 画线 作用荷载并观察现象 横截面上便只有切于截面的切应力 由平衡方程: 得: T 2.切应力互等定理 取单元体:厚度为t的单元体。 得 切应力互等定理——一对相互垂直的平面,切应力大小相等,垂直交线,方向共同指向或背离交线。 所以 剪力为:τtdy,形成一个力偶,其力偶矩为(τtdy)dx 。有 应力分析: 3.剪切胡克定律 切应变:纯剪切单元体的相对两侧面发生微小的相对错动,使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ,称为切应变或角应变: 剪切胡克定律——纯剪切试验结果表明,在弹性范围内,切应变γ与切应力τ成正比,即 G:切变模量(剪切弹性模量)单位:GPa。 对各向同性材料有E、μ、G三者的关系 1.外力偶矩m 通常外力偶矩是通过轴所传递的功率N和转速n由下列关系计算得到的: P—传递功率(kW) n —转速(r/min) P—传递功率(PS) n —转速(r/min) 2.扭矩与扭矩图 扭转变形时,横截面上相应的内力分量称为扭矩。 截面法求n—n截面扭转内力——扭矩。 T:称为截面A—A上的扭矩; 扭矩的正负号规定为:按右手螺旋法则,矢量离开截面为正,指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正,反之为负。 例 传动轴如图所示,转速 n = 500转/分钟,主动轮B输入功率NB= 10KW,A、C为从动轮,输出功率分别为 NA= 4KW , NC= 6KW,试计算该轴的扭矩。 A B C 先计算外力偶矩 计算扭矩: AB段 mA Mn1设为正的 Mn1 BC段 Mn2设为正的 mc Mn2 例 传动轴如图所示,主动轮A输入功率NA=50马力,从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力,ND=20马力,轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。 解:1、计算外力偶矩 2、用截面法,计算各段内的扭矩,画扭矩图 扭矩图: 横轴:截面位置; 纵轴:扭矩大小。 主动轮A与从动轮D交换位置? 如果:主动轮A与从动轮D交换位置 可 见:传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同,轴所承受的最大扭矩也就不同; 两者相比:显然上图所示布局比较合理。 最大扭矩:Tmax=1170Nm 平面假设:圆轴扭转变形前后各横截面都保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线;且相邻两截面间的距离不变。 一、横截面上的应力 1.变形几何关系 1.变形几何关系 γ是a点切应变,γ发生在垂直于半径Oa的平面内。 γρ是e点切应变,发生于垂直于半径Oa的平面内。 取一薄壁圆筒,直角∠abc角度发生改变,改变量为 表明:横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比 2.物理关系 由剪切胡克定理和应变计算公式得 表明:横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比,即 τρ取最大值 纵向截面和横截面上,沿半径切应力的分布如图 3.静力平衡关系 在横截面内,有, 令 极惯性矩,为几何量。单位:为m4或cm4。 由几何关系和物理关系: 称为截面系数, 单位:为m3或cm3。 则在圆截面边缘上,最大切应力为 令 关于 Ip、Wp计算 令 对实心圆轴 对空心圆轴 例 一轴AB传递的功率为Pk=7.5kW,转速n=360r/min。轴AC段为实心圆截面,CB段为空心圆截面,如图所示。已知D=3cm,d=2cm。试计算AC段横截面上最大和最小切应力以及CB段横截面上最大和最小切应力。 解:(1)计算扭矩
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