5.1李雅普诺夫稳定性的定义解析.ppt

李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(3/4) 即逻辑关系式 ??0 ?t0 ??0 ?x0?S(xe,?) ?t? t0 x(t)?S(xe,?) 为真,则xe是李雅普诺夫意义下稳定的。 若实数?(?,t0)与初始时刻t0无关,即逻辑关系式 ??0 ??0 ?t0 ?x0?S(xe,?) ?t? t0 x(t)?S(xe,?) 为真,则称稳定的平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致稳定的。 对于定常系统来说,上述定义中的实数?(?,t0)与初始时刻t0必定无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价。 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。 李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(4/4) 上述定义说明,对应于平衡态xe的每一个球域S(xe,?), 一定存在一个有限的球域S(xe,?),使得t0时刻从S(xe,?)出发的系统状态轨线总不离开S(xe,?), 则系统在初始时刻t0的平衡态xe为在李雅普诺夫意义下稳定的。 以二维状态空间为例,上述定义的几何解释和状态轨线变化如图5-1所示。 李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(5/4) 对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明： 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过S(xe,?)，就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。 渐近稳定性(1/3)—渐近稳定性定义 5.1.3 渐近稳定性 上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处。 下面我们给出强调系统最终状态稳定性的李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定性定义。 渐近稳定性(2/3)—渐近稳定性定义 定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性) 若状态方程 x’=f(x,t) 所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的,且系统状态最终趋近于系统的平衡态xe,即 Limt?? x(t)=xe 则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。 若?(?,t0)与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下一致渐近稳定的。 图5-2 渐近稳定性(3/3) 对于线性定常系统来说,上述定义中的实数?(?,t0)可与初始时刻t0无关,故其渐近稳定性与一致渐近稳定性等价。 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同。 渐近稳定性在二维空间中的几何解释如图5-2所示。 该图表示状态x(t)的轨迹随时间变化的收敛过程。 图5-1与图5-2相比较,能清楚地说明渐近稳定和稳定的意义。 图5-2 图5-1 渐近稳定性(4/3) 对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意义下的渐近稳定。 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,?)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。 从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为重要。 由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念,只确定平衡态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地运行。 大范围渐近稳定性(1/1) 5.1.4 大范围渐近稳定性 对于n维状态空间中的所有状态,如果由这些状态出发的状态轨线都具有渐近稳定性,那么平衡态xe称为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的。 换句话说,若状态方程在任意初始状态下的解,当t无限增长时都趋于平衡态,则该平衡态为大范围渐近稳定的。 显然,大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整个状态空间中只有一个平衡态。 对于线性定常系统,如果其平衡态是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的。 但对于非线性系统则不然,渐近稳定性是一个局部性的概念,而非全局性的概念。 五、不稳定性(1/2)—不稳定性定义 5.1.5 不稳定性 定义5-4 若状态方程 x’=f(x,t) 描述的系统在初始时刻t0, 对于某个给定实数?0和任意一个实数?0, 总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,?)的初始状态x0, 使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域S(xe,?),则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的,即逻辑关系式 ??0 ?t0 ??0 ?x0?S(xe,?) ?t? t0 x(t)?S(xe,?) 为真,则系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下不稳定的。 图5-3 不稳定性(2/2) 李雅普诺夫意义下不稳定性的几何解释如图5-3所示。 该图表示状态轨迹随时间变化的发散过程。 图5-1与图5-3相比较清楚地说明稳定和不稳定的意义。 图5-3 图5-1 平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系(1/1) 4.1.