5.2李雅普诺夫稳定性的基本定理解析.ppt

(2) 稳定性定理 定理5-5 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) V’(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的; 2) 更进一步,若V(x,t)的定义域?为Rn,对任意的t0和任意的x(t0)?0,V’(x,t)在tt0时沿着其状态轨迹解x(t)不恒为零,那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时,随着||x||→?,有V(x,t)→?,则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 □ 稳定性定理(1/4) 由此定理的结论可知,定理5-5不仅可用于判别平衡态的稳定性,而且可作为定理5-4的补充,用于判别平衡态的渐近稳定性。 例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。 解 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数。 该函数及其导数分别为 稳定性定理(2/4)—例5-5 由于V’(x)是非正定函数,由定理5-5的1)可知,系统为一致稳定的。 稳定性定理(4/4)—例5-5 下面利用定理5-5的结论2)来分析相应的平衡态是否渐近稳定。 分析过程可如右图所示。 平衡态渐近稳定 稳定性定理(5/4)—例5-5 对例5-5，选取李雅普诺夫函数为 则 是负定的,系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 能量函数的非唯一性 例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 稳定性定理(6/4)—例5-6 为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t),V(x)的全导数 解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择正定函数 由于V’(x)非正定,由定理5-5的1)可知,系统为一致稳定的。 由于V’(x)对任意的x?0恒为零,因此由定理5-5中2)可知,该系统是稳定的但非渐近稳定。 □ 稳定性定理(6/4)—例5-6 (3) 不稳定性定理 定理5-6 设系统的状态方程为x’=f(x,t),其中xe=0为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) V’(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的; 2) 若V’(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0)?0, V’(x,t)在tt0时不恒为零,那么该平衡态xe亦是不稳定的。 □ 不稳定性定理(1/2) 例5-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 不稳定性定理(2/2)—例5-7 解 显然,原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择李雅普诺夫函数为 则 由于V’(x)非负定,但其只在x1=0,x2=0时才恒为零,而在其他状态不恒为零,因此由定理5-6的2)可知,系统的该平衡态为不稳定的。 不稳定性定理(3/2)—例5-8 例5-8 设时变系统的状态方程为 试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定性。 解 定义李雅普诺夫函数为 显然,在x1-x2平面上的第一,三象限内,有V(x,t),是正定的。 在此区域内取V(x,t)的全导数为 不稳定性定理(4/2)—例5-8 所以在x1-x2平面上的第一,三象限内V(x,t),0, 它的一阶导数亦大于零,由此根据定理5-6可知,系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。 下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结 不稳定性定理(5/2)—稳定性定理小结 V(x) V’(x) 结论 正定(0) 负定(0) 该平衡态渐近稳定 正定(0) 半负定(?0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解) 该平衡态渐近稳定 正定(0) 半负定(?0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解) 该平衡态稳定 但非渐近稳定 正定(0) 正定(0) 该平衡态不稳定 正定(0) 半正定(?0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解) 该平衡态不稳定 实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义 定义5-6 设x?Rn,?是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x)对任意n维非零向量x??,都有V(x)0;当且仅当x=0时,才有V(x)=0,则称函数V(x)为区域?上的负定函数。 若对任意n维非零向量x??,都有V(x)≥0,且V(0)=0,则称函数V(x)为区域?上的非负定函数。 若对任意n维非零向量x??,都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函数V(x)为区域?上的非正定函数。 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为负值,则称函数V(x)为不定函数。