1.5建模示例之三如何预报人口的增长.ppt

模型的进一步讨论 2 　至于“2秒准则”，如果换一种方法解释，其实也可以说是合理的： 假设从前车经过某一标志开始，前车的制动系统开始刹车，后车司机观察并作出刹车的反应，并在到达前车之前把车完全停住。那么，前后车的距离至少是 (最大制动距离－最小制动距离)＋反应距离 模型的进一步讨论 2 尾随时间＝前后车的距离÷车速 根据表2-4-1的实际观测数据，用MATLAB计算车速从20英里/小时到80英里/小时的尾随时间（秒）： 0.8864 0.9273 0.9545 0.9740 1.0227 1.0758 1.1045 1.1653 1.2045 1.2692 1.3149 1.3909 1.4659 这样算出来的尾随时间全部都小于2秒！ 评注 把总的刹车距离的模型分成两个子模型分别来建立模型、估计参数和模型检验 利用比例性质进行建模 利用最小二乘法来拟合曲线和估计参数 用微积分方法也能建模 复习与思考 对比本导学讲义与课本，认真阅读，深入体会建模的过程和方法。 作业：课本第56页第7题。 分析 刹车距离的模型 为了对“2秒准则”建模，我们从来开始分析： 刹车距离 = 反应距离 + 制动距离 反应距离指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶的距离； 制动距离指从制动器开始作用到汽车完全停止行驶的距离。 反应距离的子模型 首先研究反应距离的子模型： 反应距离涉及许多因素，是许多变量的函数，我们只从其中两个变量开始： 反应距离 = f（反应时间，车速） 反应距离的子模型 更详细地，我们考虑到： 反应时间取决于 司机个人状况 汽车制动系统的灵敏性， 汽车制动系统的灵敏性和司机的因素相比是相当小的，所以可以忽略。 反应距离的子模型 司机的个人状况，包括反应、警觉、视力等，因人而异， 一般的，可以考虑平均值，视反应时间为常数，而且在这段时间内车速没有改变。在这个假设下， 距离 = 反应时间×车速 制动距离的子模型 为了得到研究距离的最初的子模型 我们分析制动距离与制动器作用力、车重、车速、以及车胎的类型、道路表面的状况、天气等因素都有关。 我们可以把车胎、道路、天气等因素看成是固定的。于是有 制动距离 = g（制动力，质量，车速） 制动距离的子模型 制动距离的子模型 接着，考虑制动力和车的质量的关系：　　 合理的汽车设计原则是—— 当作用上最大制动力的时候，不论汽车的质量是多少，最大的减速度都是常数，否则司机和乘客会在急刹车期间遭遇危险的猛然前冲。 制动距离的子模型 模型假设 刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和 反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1 刹车时使用最大制动力F，F做的功等与汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比 模型建立 参数估计和模型检验 我们采用由美国公路局提供的实际观测数据（表2-2）来估计参数，并对上述模型进行检验。 在本小节中，车速的单位都是英里/小时，距离的单位都是英尺，时间的单位都是秒 参数估计　反应距离子模型 用MATLAB软件计算得反应时间 t1＝1.1033 得到反应距离的模型： 结果分析 从图2-4-2看到司机反应距离对车速的图形是通过原点的斜率约为1.1的直线，拟合得到的结果非常好！ 参数估计　制动距离子模型 用MATLAB软件计算得 k = 0.0562 得到制动距离的模型： 结果分析 　　　从图2-4-3看到制动距离对车速的平方的图形 在车速不算高的时候，大约是通过原点的斜率约为0.0562的直线， 在车速较高的情况，拟合得到的结果看来不那么令人信服。 参数估计　总的刹车距离模型 根据前面两个子模型的计算结果，我们得到总的刹车距离的模型： 结果分析 我们把模型（6）所预测的、表2-4-1所记录的实际观测的、以及按照“1车长度规则”的刹车距离对车速的图形都画在图2-4-4中。 结果分析 考虑到假设的粗糙、数据的观测误差，总的刹车距离模型看起来直到车速为70英里/小时都和观测数据相当合理地一致。 还可以看到当车速超过40英里/小时，“1车长度规则”大大低估了刹车距离。 模型应用 首先根据表2-4-1的实际观测数据来研究“2秒准则”的合理性。 假设从前车经过某一标志开始，后车司机刹车，并在到达同一标志之前把车完全停住。那么，前后车的距离至少是最大刹车距离。 可以用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间，并记录在表2-4-2的第四列。 模型应用　“t秒准则” 然后再结合模型（6），可以提出一种所谓“t秒准则”的修正方案—— 后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志 表2-4-3 t秒准