《数值分析》课程设计任务书2015.doc

数值分析 课 程 设 计 任 务 书 目的任务 (1) 使学生巩固和加强《数值分析》课程的理论知识。通过对实际问题的分析，算法的实现以及结果的分析，加深已学理论知识更为直观的理解。 （2）理解和掌握Matlab编程语言思想和方法，并熟悉常见算法的实现。同时掌握调试程序的基本方法和上机操作方法。 （3）掌握书写设计开发文档的能力，使学生学会撰写总结报告。 （4）通过查阅文献资料，培养学生独立分析问题和解决问题的能力。 （5）培养良好的程序设计风格。在实际编程中，为了提高编程质量，对空行，空格和注释均有要求，在设计编写代码时，应该严格按照要求，养成良好的习惯。 设计内容 【设计题一】（验证矩阵的病态问题） 自己设计一个方案验证希尔伯特矩阵 【设计题二】（线性方程组直接法的比较） 对下列方程的用不选主元Guass消去法，列主元Guass消去法和LU分解方法求解 将这些方法进行比较，谈谈对这些方法的看法。（方程的维数n从120到130） 【设计题三】（线性方程组迭代法的比较） 选用Jacobi方法，G-S方法和SOR方法求解下面线性方程组（考虑n=100） 考虑初值的变化和松弛因子的选择对收敛性的影响。并比较将上述方法的计算结果进 行比较，说明此方程什么方法最合适。 【设计题四】（非线性方程求根的算法设计与比较） 1225年，达.芬奇研究了方程并得到它的一个近似根，。没有人知道他用什么方法得到它。 要求：（1）用自己设计的一种线性收敛的不动点迭代法求上述方程的根，然后用斯蒂芬森加速法计算。 （2）试分别用二分法,牛顿迭代法求解上述方程。并且对牛顿迭代法采用不同初值，分析方法对初值的依赖性。 （3） 根据实验结果分析比较上述方法 【设计题五】（多项式插值的振荡现象） 定义在[-5,5]区间上的函数 要求：（1）选取节点，考虑用一个n次多项式去逼近。增大n (n=2,4,6,8….), 画出原函数以及的图像，比较并分析实验结果，说明什么问题？ （2）如果选取节点，重复上述过程，结果如何？ （3）若出现龙格现象，如何解决？ 【设计题六】（曲线拟合的最小二乘法及其应用） 某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量y与时间t的关系 t(分 ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Y（) 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64 要求：（1）试分别用插值方法和形如的曲线进行拟合，将结果进行比较，理解各自方法的特点及适用范围。 （2）如果曲线拟合中采用指数形式或双曲形式，绘出拟合曲线图形，并进行比较，说明优劣。 【设计题七】（函数的最佳平方逼近多项式） 对于函数,构造其最佳平方逼近多项式 （1） 若采用基函数，得到其一次最佳平方逼近多项式，二次 最佳平方多项式。。。。，随着多项式次数增大，发现什么现象？ （2） 若采用Legendre正交多项式作为基函数，重复上述过程有何发现？ 【设计题八】（数值积分方法的比较） 数学上可以证明，试通过计算上述积分得到的近似值。 要求：（1）分别用复合梯形公式，Romberg算法，Guass-Legendre公式 计算上述积分，使得精度达到 （2）通过此实验，说明各种算法的优缺点。 【设计题九】（数值积分公式的应用） 在概率论中经常需要计算正态密度函数的积分，通过我们学过的数值积分公式建立一个正态密度函数的概率表，使得精度达到六位有效数字。（概率表可参考概率统计教材） 【设计题十】（常微分方程数值方法的比较） 给定单摆方程初值问题其中g=9.8,l=25. 其精确解为 要求： 取初始偏离角度 取初始偏离角度 分别对上述两种情况按照下列方法求出其数值解，比较各方法的优缺点，并将计算结果与精确解做比较（列表、画图）。（希望时间画的长一点） （方案I）欧拉法，步长h = 0.025, h = 0.1； （方案II）改进的欧拉法，步长h = 0.05, h = 0.1； （方案III）四阶经典龙格—库塔法，步长h = 0.1。 [设计题十一] （Lotka-Volterra捕食竞争系统） 考虑一类捕食竞争系统