线性规划的标准型和基本概念.ppt

线性规划的标准型和基本概念 线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 标准型线性规划的解的概念 线性规划的基本理论 问题的提出： 在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。 　有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 　最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。 有限资源的合理配置有两类问题 　如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 　在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。 例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示： 定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。 数学模型为 s.t. （subject to) (such that) 例３，某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2.9米，2.1米和1.5米的圆钢各一根。已知原料长为7.4米，问应如何下料，可使材料最省？ 　分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳出8种不同的下料方案： 设xj表示用第j种下料方案下料的原料根数，j=1,2…8, 数学模型 s.t. 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。 线性规划的一般数学模型 线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下， 　　变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线 　　性不等式来表达。 （4）要求目标函数实现极大化（max）或极小化（min）。 　满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题 　 线性规划的模型的一般形式: 　 目标函数 　　满足约束条件 通常称 为决策变量， 为价值系数， 　　　　　　　　 为消耗系数, 　　　　　为资源限制系数。 线性规划的图解法 线性规划图解法的基本步骤： （1）建立以x1,x2为坐标轴的直角坐标系，画出线性规划 问题的可行域, （2）求目标函数 Z=C1x1+C2x2 的梯度▽Z =（c1,c2）, （3）任取等值线 C1x1+C2x2=Z0, 沿梯度▽Z正方向平移, （若是极小化问题，则沿负梯度方向-▽Z平移）， 求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。 （4）若交点存在，则该点坐标就是最优解 。 图解法的几种可能结果 (1）有唯一最优解，如例1。 （2）有无穷多最优解 如例1中的目标函数设为 maxZ=10x1+2x2 则目标函数等值线10x1+2x2=Z 与第二约束 5x1+x2≤15 的边界线平行。将等值线沿梯度▽Z =（10，2）正方向平移 至B点时与可行域OABC的整条边界线AB重合。 这表明线段AB上的每一点都使目标函数取得同样的最大值， 因而都是最优解。 例5，试用图解法求解下列线性规划问题 st. （4）无可行解 某些线性规划问题的可行域是空集，既不存在满足所有约束条件的点，这时问题无可行解，当然更谈不上最优解了。 在实际中出现这种情况可以认为资源条件无法满足人们的要求，既不存在可行方案。 以上几种情况的图示如下： 直观结论： （1）可行域可以是个凸多边形，可能无界，也可能为空； （2）若线性规划问题的最优解存在，它一定可以在可行域的某一个顶点上得到； （3）若在两个顶点上同时得到最优解，则该两点连线上的所有点都是最优解，即LP有无穷多最优解； （4）若可行域非空有界，则一定有最优解。 标准线性规划模型 线性规划问题的标准形式： s.t ? 其中 紧凑格式： s.t. 向量格式： s.t. 其中 称为价值向量， 为决策变量向量， 为决策变量xj所对应的消耗系数向量， 为资源