运筹学第二章第6节矩阵法求解线性规划问题.pptVIP

第七节 矩阵法求解线性规划问题 一、线性规划问题的矩阵描述 二、矩阵法求解线性规划问题 （改进的单纯性法） 一、线性规划问题的矩阵表示 线性规划问题可以用如下矩阵形式表示： 目标函数 max z=CX 约束条件 AX≤b 非负条件 X≥0 将该线性规划问题的约束条件加入松弛变量后，得到标 准型：其中I 是m×m单位矩阵。 将线性规划问题将决策变量也分为两部分，其 中基变量标记成XB，非基变量标志为XN，可将系 数矩阵（A，I）分为（B，BN）两块。B是基变量 的系数矩阵，BN是非基变量的系数矩阵。也就是 说： 且（A，I）= （B，BN）。 相应地可将目标函数系数C分为两部分：CB和 CN，分别对应于基变量XB和非基变量XN，并且记 作： C=（CB, CN） 基变量XB由两部分组成，一部分是XB1，一部分是XS1；非基变量XN由两部分组成，一部分是XN1，另外一部分是XS2，其中XS1和XS2分别对应松弛变量XS中基变量和非基变量的部分。 松弛变量是x3，x4，x5，初始的基变量是x3，x4，x5，非基变量为x1和x2。 在迭代到单纯性表2时，当前的基变量为x3，x4，x2，其中x3和x4是松弛变量。这时，松弛变量中，x5为基变量，x3和x4为非基变量，因此：基变量XB由两部分组成，一部分是XB1=x2，一部分是XS1=x3和x4；非基变量XN由两部分组成，一部分是XN1=x1，另外一部分是XS2=x5。 令非基变量=0，由上式得到： （1）非基变量的检验数： （2）当前单纯性表与矩阵的关系 （3）初始单纯性表与当前单纯性表关系 单纯性法的每一步就是：令非基变量XN（XN1和 XS2）=0，则当前基本可行解X=（XB，0） =（B-1b，0）。当前的目标函数值为 Z=CBB-1b，通过刚才用矩阵法的展示，我们发现： 1）B：初始单纯性表中基。 2）BN：初始单纯性表非基变量在A中对应的矩阵。 3）B-1：初始单纯性表中单位矩阵所对应的列在当 前矩阵中所构成的矩阵。 4）CB：当前基变量的价值向量。 5）CN：当前非基变量的价值向量。 （3）初始单纯性表与当前单纯性表关系 6）B-1BN：当前单纯表中非基变量在A中对应列构成的 矩阵。（其中某一列为B-1PJ） 7）XB=B-1b：当前单纯性表基变量的取值。 8）Z=CBB-1b=CBXB：当前单纯性表目标函数值。 9）δN=CN-CBB-1BN：当前单纯性表中非基变量在的检 验数。 初始单纯性表和当前单纯性表沟通的关键是就是B-1， 如果知道初始单纯性表，直接求；如果知道当前的单纯 性表，需要找出来。 （4） θ规则表示为： 二、矩阵法求线性规划问题 初始单纯性表和当前单纯性表沟通的关键是就是 B-1，如果知道初始单纯性表，直接求；如果知道当 前的单纯性表，需要找出来。 例1：已知线性规划问题当前单纯性表如下，其中x3， x4，x5，x6为松弛变量，初始单纯性表中b=（12，8， 16，12），要求补充完全当前单纯性表。 （1）判断问题：两类问题中，属于哪一类？ 属于已知当前的单纯性表的题，第二类。 （2）哪些不用求？ 比如XB和CB和基变量的检验数。 （3）哪些需要求？ 需要求δN，XB和Z？ （4）找初始单纯性表和当前单纯性表的沟通渠道？ 找 B-1。 怎么找：（I，B）——（B-1，I），找当前单纯性表中 松弛变量对应的列向量组成的矩阵。 =(0,0)-(3/2,1/8)=(-3/2,-1/8) （5）计算： 1）δN=CN-CBB-1BN=（c4，c5）-（c3，c1，c6，c2） B-1（p4，p5） =（0，0）-（0，2，0，3）（B-1p4，B-1p5） = （0，0）-（0，2，0，3） 2)Z=CBB-1b=CBXB =14 * max z=CX+0Xs AX+IXs=b X，X s≥0 换入变量的系数向量 表示选用0的分量 右端常数项值 检验数 系数矩阵 等式右边 非基变量 基变量 *