2015-2016学年人教B版高中数学课件 必修3：第一章 算法初步 3《算法案例》.pptVIP

1.3 中国古代数学中的算法案例 1．理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2．引导学生得出自己设计的算法程序. 新课讲授部分，讲解两种算法的应用与优点；例题部分，通过典例讲解让学生熟悉两种中国古代算法。复习巩固部分通过练习对知识巩固，让学生更系统掌握本节课的所学知识。 算法案例一 更相减损之术（等值算法） 思考1 小学学过的求两个数的最大公约数的方法是怎样呢？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 解答： 例1：求下面两个正整数的最大公约数： （1）求25和35的最大公约数; （2）求49和63的最大公约数. 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5； 所以，49和63的最大公约数为7. 解答： 思考2 如何算出98与63的最大公约数？除了用这种方法外还有没有其他方法？(辗转相除法） 解答： 由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7. 思考3 什么是更相减损之术？有什么具体作用呢？ 解答：所谓更相减损之术，就是对给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。 更相减损之术，是我国古代数学算法的叫法，现代数学中称作等值算法，主要的作用是求两个正整数的最大公约数。 思考4 你能根据更相减损之术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？ 程序 a=input（“please give the first number”); b=input(“please give the second number”); While ab ifab a=a-b; else b=b-a; end end print(%io(2), a, b) 算法案例二 秦九韶算法 思考1 想想怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 算法1： 计算多项式ｆ(ｘ)=x５+x４+x３+x２+x+1 当x=5的值的算法： 因为ｆ(ｘ)=x５+x４+x３+x２+x+1 所以ｆ(5)=5５+5４+5３+5２+5+１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ =3906 解答： 算法2： ｆ(5)=55＋54＋53＋52＋5＋１ =5×(54＋53＋52＋5＋１)＋１ =5×(5×(5３＋52＋5＋１)＋１)＋１ =5×(5×(5×(52+5+１)+１)+１)+１ =5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１ 思考2 两种算法各用了几次乘法运算和几次加法运算？ 算法一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。 算法二共做了4次乘法运算，5次加法运算。 解答： 通过对比，很明显，算法二比算法一优越，这种算法就是秦九韶算法。 设 是一个n 次多项式 对该多项式按下面的方式进行改写： 思考3 秦九韶算法的概念和特点是怎样的呢？ 解答： 这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。 秦九韶算法的特点： 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。另外这种算法还避免了对自变量x单独做幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度。 例2：已知一个五次多项式为 用秦九韶算法求这个多项式当x=-0.2的值。 将多项式变形： 解答： 所以，当x=-0.2时，多项式的值等于0.81873 1、在对16和12求最大公约数时，整个操作如下： （16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此 可以看出12和16的最大公约数是（ ） A.4 B.12 C.16 D.8 A 2、已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求f(5)的值. 解：f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8 v1=5×5+2=27； v2=27×5+3.5=138.5； v3=138.5×5-2.6=689.9； v4=689.9×5+1.7=3451.2； v5=3451.2×5-0.8=17255.2. 所以f(5)=17255.2. 1、近三年各地的高考中，对算法案例都不作考查. 高考虽然没有考查，但在平时的考试中通常以选择或填空的形式出现