第8章质点系动力学矢量方法习题解答080814.doc

第八章 质点系动力学：矢量方法 一、动量定理和动量矩定理 1 动量定理 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即 质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢： ， 质点系动量定理的微分形式： 质点系动量定理的积分形式 ， 其中为外力系主矢的冲量。质点系的内力不能改变其总动量。 质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒，即 该常矢量由质点系运动的初始条件确定。 质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为 ， 如果，则。 解题要领 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速度关系问题经常用动量定理. 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度. 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔. 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式. 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程. 2 质心运动定理 质点系的动量等于质心的动量 ， 质心运动定理 质心运动守恒： 如，则质心速度vC = vC0 (常矢量)。进一步，若，则. 如，则质心速度 (常量)。进一步，若，则.，质点系中各质点的绝对位移满足如下关系 . 解题要领 1）质心运动定理是质点系动量定理的又一表现形式，根据题意灵活选择是用质心运动定理还是质点系动量定理. 2）质心的运动由外力的主矢决定. 3）与质心运动定理相关的运动学量，如位移、速度和加速度都是绝对的. 3 动量矩定理 质点系对O点的动量矩为 平移刚体对O点的动量矩 . 定轴转动刚体对转轴的动量矩 ， 式中Jz = ( mir2i称为刚体对轴z的转动惯量。 质点系的动量矩定理 其中为外力系对固定点的主矩. 直角坐标系坐标轴上的投影式 ， 动量矩定理的微分形式 ， 式中为外力系主矩的元冲量矩。 动量矩定理的积分形式： ， 其中Mz = (Mz(Fi)为主动力对轴z的矩。 两个平行轴，（质心轴）的转动惯量有如下关动量矩守恒：如果质点系所受外力对某一固定点O的主矩为零，则质点系对O点的动量矩保持不变，即 . 如果质点系所受外力对某一固定点的主矩不为零，但主矩在过该点的某一固定轴上的投影为零（比如x轴），则质点系对此轴的动量矩保持不变，即 . 4 刚体绕定轴转动微分方程 ， 其中为转动轴，，为与转动轴平行的质心轴. 物体对轴的回转半径 . 解题要领 定轴转动微分方程数学形式与质点运动微分方程的弧坐标形式相似，因此，概念和应用可作类比，如质量和转动惯量的物理意义，定轴转动动力学的两类基本问题等. 转动惯量的平行移轴公式中 轴一定要是质心轴. 5 质点系相对质心的动量矩定理 质点系在质心平移坐标系中相对于质心的动量矩为 . 其中为质点相对于质心的速度。质点系对固定点的动量矩和对质心的动量矩的关系为 其中。 对质心的动量矩定理 . 解题要领： 1）对质心的动量矩定理与对固定点动量矩定理得形式相同，对刚体上其他动点，例如速度瞬心的动量矩定理一般就没有这一性质. 2）对质心的动量矩定理只涉及外力而与内力无关. 当要计算物体系统的加速度、角加速度和力之间的关系时，可以用对质心的动量矩定理求解；通过积分也可以进一步求得速度或叫速度与力之间的关系. 3）解题时，一般将对质心的动量矩定理和质心运动定理结合使用. 6 刚体平面运动微分方程 刚体平面运动微分方程 . 其中C为刚体的质心. 解题要领： 1）解决刚体作平面运动时刚体上点的加速度或刚体角加速度与作用力的关系时，可以用刚体平面运动微分方程解决。如果得到的结果不是瞬时值，而是时间的函数，则通过积分，还可以求得速度和角速度。 2）方程中点必须是质心. 3）三个独立的方程来解刚体平面运动问题。但是在具体应用时，经常遇到除了三个基本未知之外还存在其它未知量而使方程组变得不封闭的情况，此时需要从运动学寻找补充方程。表达系统的独立运动学参数个数与系统得自由度相同。 二、动力学建模的动静法 1 惯性力和达朗贝尔原理 质点的惯性力：， 质点的达朗贝尔原理：质点运动的每一瞬时，作用在质点的主动力、约束力和惯性力在形式上构成一平衡力系。 质点系的达朗贝尔原理：质点系运动的每一瞬时，作用在每个质点上的主动力，约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系 2 刚体惯性力系的简化 (1) 平移刚体惯性力系的简化 选取质心C为惯性力的简化中心，则惯性力的主矢和主矩分别为 ， (2) 平面运动刚体惯性力系的简化 将惯性力系向质心C简化，主矢