第六节数列的综合问题.doc

第六节　数列的综合问题 一、等差、等比数列的一些重要结论等差数列{a中若m＋n＝p＋q则a＋a＝a＋a等比数列{a中若m＋n＝p＋q则a＝a等差数列{a的任意连续m项的和构成的数列S－S－S－仍为等差数列．等比数列{a的任意连续m项的和构成的数列S－S－S－仍为等比数列(m为偶数且公比为－1的情况除外)．两个等差数列{a与{b的和、差构成的数列＋－b仍为等差数列．两个等比数列{a与{b的积、商、倒数构成的数列{a，仍为等比数列．等差数列{a的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列．等比数列{a的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列．若{a为等差数列则(c0)是等比数列．若{b(bn0)是等比数列则{(c0且)是等差数列．二、几个数成等差、等比数列的设法三个数成等差的设法：a－d＋d；四个数成等差的设法：a－3d－d＋＋3d.三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：，aq，aq3(因为其公比为q对于公比为负的情况不能包括)．三、用函数的观点理解等差数列、等比数列对于等差数列a＝a＋(n－1)d＝dn＋(a－d)当d≠0时是关于n的一次函数对应的点(n)是位于直线上的若干个离散的点；当d＞0时函数是单调增函数对应的数列是单调递增数列；当d＝0时函数是常数函数对应的数列是常数列；当d＜0时函数是减函数对应的数列若等差数列的前n项和为S则S＝pn＋qn(pR)．当p＝0时为常数列；当p≠0时可用二次函数的方法解决等差数列问题．对于等比数列a＝a－1可用指数函数的性质来理解．当a＞0＞1或a＜0＜q＜1时等比数列{a是单调递增数列；当a＞0＜q＜1或a＜0＞1时等比数列{a是q＝1时是一个常数列；当q＜0时无法判断数列的单调性它是一个摆动数列．四、数列应用的常见模型等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时该模型是等差数列模型增加(或减少)的量就是公差．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时该模型是等比数列模型这个固定的数就是公比．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定随项的变化而变化时应考an与a－1的递推关系或前n项和S与S－1之间的递推关系． 1．(2014·重庆卷)对任意等比数列{a下列说法一定正确的是() A．a1，a3，a9成等比数列a6成等比数列成等比数列成等比数列解析：依题意得a＝a因此a一定成等比数列故选设数列{a的前n项和为S(n∈N*)，关于数列{a有下列三个命题：若数列{a既是等差数列又是等比数列则＝＋1；若S＝an＋bn(aR)，则数列{a是等差数列；若S＝1－(－1)则数列{a是等比数列．这些命题中真命题的个数是() A．0个　　　　　　．个个 ．个解析：①不妨设数列{a的前三项为a－d＋d则其又成等比数列故a＝a－d＝0即a＝a＋1为真命题．②由S的公式可求出a＝(2n－1)a＋b故{a是等差数列为真命题．③由S可求出＝(－1)－1故数列{a是等比数列为真命题．故选在数列和中是a与a＋1的等差中项＝且对任意n∈N都有3a＋1－＝则数列的通项公式为 b＝4·3－n(n∈N)．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存2 KB然后每3分钟自身复制一次复制后所占内存是原来的2倍那么开机后经过45分钟该病毒占据64 内存(1 ＝2)．解析：依题意可知：a＝2＝2＝2＝2＋1＝＝2令2＋1＝2得n＝15.∴开机后分钟该病毒占据内存．高考方向1.数列的综合主要考查：（1）等差数列和等比数列的求和.（2）使用裂项相消法、错位相减法的求和.（3）根据周期性、奇偶数项的不同的分组求和.2.数列求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.,3.以解答题为主难度中等或稍难. 1．(2013·福建卷)已知等比数列{a的公比为q记b＝a(n－1)＋1＋a(n－1)＋2＋…＋a(n－1)＋m＝a(n－1)＋1(n－12·…·am(n－1)＋m(mN*)，则以下结论一定正确的是() A．数列{b为等差数列公差为q　　　　　　　．数列{b为等比数列公比为q数列{c为等比数列公比为q数列{c为等比数列公比为q解析：∵b＝a(n－1)(q＋q＋…＋q) ∴＝＝＝q(常数)．而＋1－不是常数．又∵c＝(a(n－1))＋2＋…＋m＝＝＝(q)m＝q(常数)．而c＋1－c不是常数．故选已知数列{a满足a＝2＋1＝3a＋2.(1)证明：是等比数列并求{a的通项公式；(2)证明：＋＋…＋＜证明：(1)由a＋1＝3a＋2得a＋1＋1＝3(a＋1)．又a＋1＝3是首项为3公比为3＋1＝3因此{a的通项公式为a＝3－1(n∈N)．(2)由(1)知＝当n≥1时－1≥2×3－1≤. ∴＋＋…＋(1＋＋…＋)＝(1－)＜＋＋…＋＜ 1．已知等差{an}的首项为10公差为2等比数列{b的首项为1公比为2N*. (1)求数列{a与{b