2014-2015第一学期《高等数学1》重点难点资料.doc

高等数学重难点 函数 极限 连续 一、基本要求 1.深刻理解函数的定义，会求简单函数的定义域，会用函数的对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系式，了解隐函数和反函数的概念，了解函数的有界性单调性、奇偶性、周期性。 2.理解数列极限的“”定义和几何意义，知道收敛数列极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，会用极限存在二法则（夹逼、单调有界）。理解函数极限、左右极限的“”定义和“” 定义，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限存在二准则，掌握利用两个重要极限求函数极限的方法。 3.理解无穷小与无穷大的概念、关系和运算，知道无穷小的比较，掌握利用等价无穷小求极限和近似计算的方法。 4.理解函数连续和左右连续的概念，了解连续函数和差积商、复合和初等函数的连续性，会判断间断点类型，理解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。 二、难点 复合函数复合过程的分析，利用两个重要极限（、()）和等价无穷小代换求函数极限，函数间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的应用。 三、重点与注记 函数的定义及函数的简单性态，复合函数的概念和复合函数定义域的求法，极限的概念和性质，两个重要极限，函数极限的求法，无穷小的概念和无穷小的比较，函数的连续的概念，初等函数的连续性，间断点的求法及间断点类型的判断，闭区间上连续函数的性质及应用。 １、函数概念的核心是函数的两要素，只有当其定义域和对应法则完全相同时，两个函数才表示同一个函数。根据实际问题建立的函数，其定义域是使自变量具有实际意义的实数集合；由解析式表示的函数，其定义域是使运算有定义的实数集合。 2、在讨论函数奇偶性时一定要注意它们对函数定义域的要求。函数的奇偶性是相对于对称区间而说的，若函数的定义域不对称，则该函数一定不是奇函数或偶函数。判断函数的奇偶性主要是根据奇、偶函数的定义，有时也利用奇偶性的相关性质。是判断为奇函数的有效方法。 3、函数和其反函数的图形关于直线是对称的，的定义域是其反函数的值域。另外需要注意，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数。求反函数的步骤是：首先从方程中解出，得到，然后将和对调，即得该函数的反函数。 4、在讨论复合函数时，要注意进行复合和分解时函数的定义域。将两个或两个以上函数进行复合的方法主要有：（1）代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数表达式替代，适用于初等函数的复合；（2）分析法：根据最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式和定义域进行分析，从而得出复合函数，适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。 5、在求函数极限时，要注意有时需要分别讨论其左、右极限。对一些的极限，应该注意分别考虑和两种情况。（e的x次方） 6、在求幂指函数的极限时，可以考虑将其先取对数再求极限，当函数呈“”型不定式时，也可以将其化成或的形式，或凑指数幂使之成为上述形式，然后利用第二个重要极限求解。 7、求函数极限的一个值得推荐的方法是利用等价无穷小替换，有时可使解题过程大大简化，这时要注意进行等价无穷小替换的原则是，只有作为因子的无穷小量才能用与其等价的无穷小替换，而作为加、减项的无穷小则不能用等价无穷小随意替换。 8、在讨论函数连续性时，常见两种情况：（1）在点处的两侧表达式不同，此时函数在点连续的充分必要条件是；（2）在点处的两侧为同一表达式，此时函数在点连续的充分必要条件是。 9、讨论带绝对值符号的函数的极限或连续性时，一般先去掉绝对值符号，将函数改成分段函数，然后再讨论在分段点处函数的左、右极限或左、右连续性。 10、在求函数的间断点时，需要注意，只有在可去间断点处才可以修改或补充函数在这一点的定义，使得函数在该点连续。 第二章 导数与微分 一、基本要求 1.理解导数和左右导数的定义，知道可导与连续、左右导数的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线与法线方程，会用导数描述一些物理量。 2.熟练应用导数的基本公式和求导法则（复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数求导法则、由参数方程所确定函数的求导法则）求一般函数的导数。 3.了解高阶导数的概念及求导法则，会求简单函数的 n阶导数，会求分段函数的一、二阶导数。 4.理解微分的概念、微分和导数的关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。 二、难点 导数和微分的概念，复合函数的求导、隐函数求导 三、重点和注记 １、导数的定义有两种表示形式，即和，在利用定义求函数的导数时，可根据不同情况选择利用以上两式，例如在求分段函数在分段点的导数时，通常用第二个表达形式。 2、一般，以下几种情况下，需要利用定义来求导数：（1）在函数