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实验3 傅里叶变换及其性质 实验目的 学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶（Fourier）变换；学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 实验原理及实例分析 傅里叶变换的实现 信号的傅里叶变换定义为： ， 傅里叶反变换定义为：。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方 法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB符号运算求解法 MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函 数fourier( )和ifourier( )。Fourier变换的语句格式分为三种。 F=fourier(f)：它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于的函数。 F=fourier(f,v)：它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的，即。 F=fourier(f,u,v)：是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 f=ifourier(F)：它是符号函数F的Fourier反变换，独立变量默认为，默认返回是关于x的函数。 f=ifourier(F,u)：它返回函数f是u的函数，而不是默认的x。 f=ifourier(F,u,v)：是对关于v的函数F进行反变换，返回关于u的函数f。 值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym函数所定义的符号 变量或者符号表达式。 用MATLAB符号运算求解法求单边指数信号的傅里叶变换。 解：MATLAB源程序为： ft = sym(exp(-2*t)*Heaviside(t)); Fw = fourier(ft) 运行结果为：Fw = 1/(2+i*w) 用MATLAB符号运算法求的傅里叶逆变换 解：MATLAB源程序为： ft = sym(exp(-2*t)*Heaviside(t)); Fw = fourier(ft) 运行结果为：ft = 1/2*exp(-t)*heaviside(t)+1/2*exp(t)*heaviside(-t) 连续时间信号的频谱图 信号的傅里叶变换表达了信号在处的频谱密度分布情况，这就 是信号的傅里叶变换的物理含义。一般是复函数，可以表示成 。与曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。要注意到，采用fourier()和ifourier() 得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用ezplot()绘图命令。 用MATLAB命令绘出例1中单边指数信号的幅度谱和相位谱。 解：MATLAB源程序为 ft = sym(exp(-2*t)*Heaviside(t)); Fw = fourier(ft); subplot(211) ezplot(abs(Fw));grid on title(幅度谱) phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); subplot(212) ezplot(phase);grid on title(相位谱) 图1 单边指数信号的幅度谱和相位谱 MATLAB数值计算求解法 fourier( )和ifourier( )函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如单位冲激函数等项，则用ezplot()函数无法作图。对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。此外，在很多实际情况中，尽管信号是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离散的数值量，因此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier()函数对f(n)进行处理，而只能用数值计算方法来近似求解。 从傅里叶变换定义出发有， 当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号，或者在所研究的时间范围内让衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n的取值。假设是因果信号，则有 傅里叶变换后在域用MATLAB进行求解，对上式的角频率进行离散化。假设离散化后得到N个样值，即 －1， 因此有 。采用行向量，用矩阵表示为 。其要点是要正确生成的M个样本向量与向量。当足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果即为所求的连续时间信号傅里叶变换的数值解。 用MATLAB数值计算法求三角脉冲幅度谱。三角脉冲的数学表达式如下： 解：MATLAB源程序为： dt = 0.01; t = -4:dt:4; ft = (t+4 )/2.*uCT(t+4)-t.*uCT(t)+(t-4)/2.*uCT(t-4); N = 2000; k = -N:N;