对泛函的理解.doc

作业一： 基于有限变量集与无限变量集的概念，统一微分和变分的定义，重写1-4.2~1-4.5 的内容。 为了统一微分与变分的定义，以微分形式表述能量原理，我们引入无限变量集与有限变量集的概念。 结构中每一点的挠度可构成挠度场，即，表示坐标对应的挠度集合，显然是一个无限变量集。我们在计算时将这无限个挠度值离散，得到有限变量集、、……。当趋于无穷时，离散后的挠度值仍为无限变量集。 而后，以受分布荷载的简支梁为例，将其势能的变分表达式改写为微分表达式。 首先，给出变分的势能表达式与势能一阶表达式。 其势能表达式为： 直接利用变分法求泛函得其一阶变分为： 而后，进行微分改写。 若我们将该简支梁受力后形成的挠度场离散，可得离散后的挠度：、、……，将（=1、2、3……n）看作自变量，为发生微小变化时的变化量，为发生微小变化时的变化量。 在此，值得说明的是，就来讲，表示时，函数的二阶导数。对于离散前的的二阶导，其可构成平滑的曲线。当发生变化时，变化量可表示为（其中分别表示变化前、后的）。因此，我们关注的是整体的变化，而非的变化，亦或是过分关注其导数的含义。 又根据定积分的数学定义：设函数在区间[a,b]上的有界，在[a,b]中任意插入若干个分点把区间[a,b]分成n个小区间，各区间的长度依次为，在各区间上取一点，作乘积，令，那么在区间[a,b]上的定积分可记为。 简支梁的势能表达式可改写为： 由新的表达式，我们可以得到的一阶微分： 若取，则上式可表示为： 将该式与直接利用变分法求得的泛函一阶变分表达式做对比可知，式中的积分号与求和号相对应，积分号与求和号后的运算完全是等价的。 另外，在能量法近似求解时，我们对挠曲函数进行整体插值，即。简支梁的势能表达式为： 从这个角度，我们依然可以看出，能量表达式由以前的泛函形式转化成了函数表达式。 既然已变为函数，那么势能极值问题可根据函数极值条件求解，即： 由上述两种离散方式，我们可以知道当结构有无限个自由度离散成有限个自由度时，能量表达式的泛函形式随之可转换为函数形式，那么原来求泛函极值的问题也将转化为求函数极值的问题。 能量函数的极值条件 我们都知道函数在处为极小值的条件为： 那么，泛函取极小值的条件是否为： 在此，给出数学证明如下： 我们考察最简泛函 式中具有二阶连续偏导。 应用多元函数的泰勒公式，被积函数在上的增量可写成如下形式 式中，分别表示在点处的值，，。且，为无穷小量。 因此， 上式右端的第一项称为函数的一阶变分，记为，即 上式右端的第二项称为函数的二阶变分，记为，即 于是 其中为高阶无穷小量。 由此，泛函的变化量可表示为： 如果泛函在上取极值，对于和任意固定的，，其中是变量的函数，当时，，即取得极值，相应的函数在此时取得极值，因此，。 令 易知， 由此可见，为必要条件。 那么泛函的变量化简为： 积分称为泛函在极值曲线上的二阶变分，记为 对分部积分得： 故 式中。 由此可见，泛函沿极值曲线取得极小值的充分条件为：，即。