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基于LQR的二级倒立摆控制 问题的描述 对于二级倒立摆系统，在外力的作用下如何控制摆的角度在最短的时间内达到系统的平衡。 数学模型的建立 建立倒立摆系统的模型时，一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。在推导数学模型之前，我们需要几点必要的假设： 1.均是刚体；2.皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动带无伸长现象；3.小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度； 4.小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感； 5.下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度； 6.上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度； 二级倒立摆的运动分析示意图如图2.2 图2.2 二级倒立摆运动分析示意图 倒立摆系统参数如下： M=1.32Kg （小车系统的等效质量=0.04Kg（摆杆1质量）=0.09m （摆杆1 转动中心到杆质心距离） m2=0.132Kg （摆杆2 质量=0.27m （摆杆2 转动中心到杆质心距离=0.208Kg （质量块质量） F：作用在系统上的外力 ：摆杆1 与垂直向上方向的夹角 ：摆杆2 与垂直向上方向的夹角 首先，计算系统的动能： (2.3) 小车动能： (2.4) 摆杆1动能： (2.5) 式中， (2.6) (2.7) 则 (2.8) 摆杆2动能： (2.9) 式中， (2.10) (2.11) (2.12) 质量块动能： (2.13) 因此，可以得到系统动能 (2.14) 系统的势能为： (215) 至此得到拉格朗日算子 (2.16) 由于因为在广义坐标上均无外力作用，有以下等式成立： (2.17) (2.18) 展开(217)、(218)式，分别得到(219)、(220)式 (2.19) (2.20) 将(219)、(220)式对求解代数方程，得到以下两式 (2.21) (2.22) 表示成以下形式： (2.23) (2.24) 取平衡位置时各变量的初值为零， (2.25) 将(223)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令 (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32) 得到线性化之后的公式 (2.33) 将在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令 (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40) 得到 (2.41) 即: (2.42) (2.43) 现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程: (2.44) 取状态变量如下： (2.45) 则状态空间方程如下： (2.46) 将以下参数代入 求出各个值： 得到状态方程各个参数矩阵： LQR控制器参数Q、R的设计 一般来说，加权矩阵Q和R的选取是在立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折衷上考虑的。为了使问题简单，且使加权阵Q和R的各元素有明显的物理意义，通常将加权阵Q和R选为对角阵。这样可以看出是对状态X平方的加权，相对增大就意味着对X的要求较严;R是对控制量u的平方的加权，当R相对较大，意味着控制费用增高，使得控制能量较小，反馈减弱，当R相对很小时，控制费用较低，反馈增强，系统动态响应迅速。 对于二级倒立摆系统，二次型性能指标应能使其在调节过程中不偏离倒立摆的控制区域且尽可能在系统的线性范围内，根据前面对二级倒立摆运动分析，在考虑倒立摆系统的各个状态时，上摆偏角应比下摆的偏角重要，下摆的偏角应比小车的位移x重要，因此要在选择加权矩阵Q和R时反映这些要求。Q矩阵的对角线6 个元素作为待寻优参数，采用长度为10 位的二进制编码串来分别表示这6个参数，然后将这些二进制编码串连接在一起，