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为什么要这样建立直角坐标系 ——反思性教学的一个案例 嘉兴市秀州中学 屠新跃 314033 一、情境再现 在一次高二数学教研活动时，听了一节《抛物线及其标准方程》第一课时的课。教学过程简述如下： 1、由椭圆与双曲线的统一定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是正常数的点的轨迹（1）当时，是椭圆（2）当时，是双曲线（3）设问：那么当时，又是什么曲线呢？ 2、教师用多媒体课件（几何画板）演示： F是定点，l是定直线，FK⊥l于K，N是l上 任一点，过N作FK的平行线与FN的中垂线交 于点M，拖动点N，观察点M的轨迹，提问 学生：这是什么曲线？齐声回答：“抛物线”。 “对，这就是今天我们要学习的第三种圆锥 曲线――抛物线”， 3、先给出它的定义（就是的情况）， 再求方程就涉及到怎样建立直角坐标系，由学生（在已有图象的基础上）讲：以到的垂线段FK的中垂线为轴，垂线FK为轴，建立直角坐标系，再设点，就可以求出抛物线的标准方程。 4、最后研究焦点坐标、准线方程，根据对称性得出另三种形式，讨论有关性质和一些巩固习题等，这里不再阐述。 二、评价反思 以上是比较常见的一种教学设计，由学生已学的椭圆与双曲线的统一定义出发，引入自然合理，考虑到了学生的“最近发展区”，又充分利用了计算机多媒体技术，通过信息技术与数学课程的整合，调动了学生学习的兴趣，实观性又增强了学生对于概念的感性认识。把这个以往教学中此内容难以呈现的问题，得到较好的解决。 但是，笔者觉得这里还存在三个没有解决，但必须要解决的问题：首先是当F点在直线l上时，图形还是抛物线吗？这个问题现在已解决得较好了，显然此时动点的轨迹是过F垂直于直线l的一条直线，只要对定义加以补充就可以，不予详谈。 其次是课件中M点的轨迹是抛物线，为什么？ 再有就是怎样建立坐标系更恰当？即为什么要这样建系才是最简单的？这些是学生看了书后“知道”的，还是因为刚开始的几何画板给学生造成了先入为主？ 带着后面两个疑问，笔者陷入了沉思： 这样的教学设计，表面上很顺利地完成了教学目标，也似乎抓住了教材内容的重点，而且还利用了多媒体的技术手段，具有现代数学教学的“印象”。可难道这就是体现了现在新的教学理念、贯彻了新课程标准的要求了吗？笔者认为：其实并没有。我们应充分挖掘教材的本质，必须考虑到学生原有的知识基础，还知识以本来的面目，即它是怎样形成的？要想体现学生的主体性，必须发挥教师的主动性，经过教师的不断反思，精心设计，才能找出数学知识螺旋式上升的台阶，搭建合理的“脚手架”，做到对教学内容、教学目标的准确把握。 反思1：试想上面的教学设计，即使从形状上来看，学生以前（初中）也只学过开口向上（下）的抛物线，这才是他们熟悉的。而教师的演示却是开口向右的，事实上这就已经让很多学生很难接受了，最多也仅仅是“象”而已！ 反思2：对于轨迹问题，在教学中前面已归纳出一般的建系方法：尽量以已知直线为坐标轴，已知点为原点或放在坐标轴上，而今突然用这样的方法，不无矛盾！ 三、悬案终破 笔者对以上两个问题反思后的解决思路是：先通过常规建系，证明符合条件的点的轨迹是开口向上的抛物线，就可解释其他三种开口的情况；同时通过对二次函数顶点的研究，让学生反思建系的合理性，调从而整和改进建系的方法，找到了所谓“恰当”的建系方法。所以相应教学设计修改为： （前面部分略）当时，又是什么曲线呢？马上有一位同学（接口）讲：“抛物线”，“好，那你怎么知道它就是抛物线，能说出理由吗？”学生满脸疑问地摇了摇头，“那么在解析几何中，是用什么方法研究曲线的？”“求曲线的方程，也就是用坐标法。” 我们一起来研究。 先画出点和直线，问它们之间的位置关系，有两种：点在直线上，点在直线外。 当在直线上时，你能发现点的轨迹是什么？是过点垂直于的直线，对，这时就不可能是抛物线（吸引了同学们对问题探索的兴趣和热情）。 当不在直线上时，不妨先讨论在直 线上方区域的时候，要建立直角坐标系， 想一想以前这方面积累的经验：尽量把已知 直线当作坐标轴，把已知点尽量放在坐标轴上。 以直线为轴，过点作的垂线为轴， 这时垂线段就是定长，令， 设动点为，到（轴）的距离呢？ 是，于是，请学生化简方程 ，两边平方得：，问：这是什么曲线的方程？由于可化为，正是学生在初中学过的二次函数，所以图象就是抛物线。至此，反思1得到解决。 接着，让学生在已建坐标系下画出它的草图，找出它的顶点是什么？是，那么对于二次函数，你认为它的最简单形式是什么呢？，因为此时顶点在原点，图象又关于轴对称。你能不能通过对已建坐标系的修改，让上面的抛物线方程也变得最简？有学生答：“把轴向上平移个单位，也就是以垂线段的中点为原点”。大家尝试以这样建系来求它的方程，验证一下这位同学的想法，由学生动手运算，得到方程，显