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拉普拉斯变换在电路分析中的应用 电气13-3班 周俊楠 摘　要: 讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题,  关键词: 拉普拉斯变换; 电路分析; 应用 在电路分析中，对于具有多个动态原件额复杂电路，用直接求解微分方程额方法比较困难。此时可用积分变换法进行求解。就是将时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方程换为复频域的代数方程。拉普拉斯变换就是一种重要的积分变换。. 而且, 由于拉普拉斯变换与￡变换有着很多类似之处, 能够让我们在对电路分析中更加便捷。 1 拉普拉斯变换 111 变换的目的  1185 3 来求解 x 是非常麻烦的. 但却可以通过某种改造使问 题得到简化. 现对方程两侧取对数, 得: 　 1185lgx = lg3　　lgx = lg3 = 0? 2579 1? 85 x = lg- 1 (012579) = 116991 从此例可以总结出几个特点: (1) 在例1 中, 我们使用的变换, 实际上是函数y = lgx , 对 于每一个 x 值都赋于一个 y 值, 即 lg (?) ; (2) 反函数 lg- 1 (?) 也是单值函数; (3) 在实数域里, lgx 的定义域为 x 0; 在解决和分析问题时, 我们常常对问题的数学表达式进 ( ) 变换 lg (?) 和反变换 lg - 1 ( ) 都可双列成表册, 以便查 4 ? 行某种改造, 希望通过这种改造, 能够用更简单、更通用的方 用. 法去解决较为复杂的问题. 上述这种改造, 在数学上就可以称 之为变换(或映射). 这种过程可以用图 1 的方框图来说明. 原问题 　变换　 较易解决 　解　 在变换域 反变换 原问题 　 的问题 里求解 的解 1　变换方法原理图 1 解方程 x 1185 = 3 方程中的幂指数不是整数, 要直接计算 3 的 1185 次方根  1 2 拉普拉斯变换 ? (1) 设 f ( t) 为时间 t 的函数, 且当 t 0 时, f ( t) = 0; S = T + j X 为复数 则定义拉普拉斯变换 e- std t L [ f ( t) ] = F (s) = ∫0∞f ( t) ? (2) 求函数拉普拉斯变换方法的总结. ∞ ① 直接利用定义式 F (s) = ∫f ( t) ? e- std t 求解 0 ②利用已知函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换性质求F (s) ③ 查表法 113 拉普拉斯反变 ∞ 在数学上, 根据拉普拉斯变换定义F (s) = ∫f ( t) ? e- std t 0 1 c+ j ∞ st 可以得出拉普拉斯反变换的公式是f ( t) = 2 ∫jc-j∞F (s) e ds, (s) 式中C 是实常数, 为收敛横坐标, 它应比 F P 一切奇点的实 部都要大. 直接用上述公式求拉普拉斯反变换是十分复杂的, 通常 是将复杂的 F (s) 展开成部分分式, 再利用拉普拉斯变换的线 性性质和基本变换表来求 F (s) 对应的 f ( t). 例 已知函数F (s) = S 2 + 29S + 30 的三个极点是S 1 S 3 + 7S 2 + 10S = 0, S 2 = - 2 和S 3 = - 5. 因此可以展开为下列形式: S 2 + 29S + 30 = A + B + C S 3 + 7S 2 + 10S S S + 2 S + 5 将上式右边通分, 则其分母与原函数相同, 而等式两边的 分子多项式为: S 2 + 29S + 30 = (A + B + C ) S 2 + (7A + 5B + 2C ) S + 10A 比较等号两边对应项的函数, 得: A + B + C = 1 7A + 5B + 2C = 29 10A = 30 解上面的线性方程组, 即可确定各函数为: A = 3