改后第四章概率论习题_奇数答案1.doc

第四章概率论习题__数.doc ，放回抽取，抽取次，抽到正品的平均次数为： 3设随机变量的概率密度为 ，这时称服从标准柯西分布。试证的数学期望不存在。 解 由于： 所以的数学期望不存在。 5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为（）。表示到时刻为止质点向右移动的次数，表示在时刻时质点的位置，。求与的期望。 解 每次向右移动的概率为，到时刻为止质点向右移动的平均次数，即的期望为： 时刻质点的位置的期望为： 7 某信号时间长短（以秒计）满足：，。用两种方法求出。 解 方法 1：由于，所以为非负随机变量。于是有： 方法二：由于，所以，可以求出T的概率函数： 于是 9已知一根长度为1的棍子上有个标志点Q，现随机的将此棍子截成两段。 求包含Q点的那一段棍子的平均长度（若截点刚好在Q点，则认为Q包含在较短的一截内）； 当Ｑ位于棍子何处时，包含Ｑ点的棍子平均长度达到最大？ 解 设棍子上的点是在[0,1]之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t点处跌断，t服从[0,1]的均匀分布。于是：包含Q点的棍子长度为T，则： ， 于是包Q点的那一段棍子的平均长度为： 11、为诊断５００人是否有人患有某种疾病，抽血化验。可用两种方法：（Ｉ）每个人化验一次；（II）分成ｋ人一组（共５００／ｋ组，假设为正整数，）。将每组ｋ人的血样集中起来一起检验，如果化验结果为阴性，则说明组内的每人都是阴性，就无需分别化验。若检验结果为阳性，则说明这ｋ人中至少有一人患病，那么就对该组内的ｋ人再单独化验。如果此病的得病率为３０％，试问哪种方法的检验次数相对少些？ 解 (I)每个人化验一次，需要化验500次 （II）分成k组，对每一组进行化验一共化验次，每组化验为阳性的概率为：，若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k次，于是该方法需要化验的次数为： 。 将（II）的次数减去（I）的次数，得： 于是： 当时，第二种方法检验的次数少一些；当时，第一种方法检验的次数少一些；当时，二种方法检验的次数一样多。 13、某电子监视器的圆形屏幕半径为（），若目标出现的位置点Ａ服从均匀分布。设Ａ的平面直角坐标为。（１）求与；（２）求点Ａ与屏幕中心位置的平均距离。 解 由题意知： ，， 计算可得 A的位置是，距中心位置（0，0）的距离是：，于是所求的平均距离为： 15、接第13题，求当横坐标为时，纵坐标的条件期望。 解 于是： 某技术考试，成绩必为0,1，…，10这11个数之一，而且考生取得每个成绩的可能性相同。第一次考试，若考生成绩为，然后需继续参加下一次考试，直到他获得的成绩不低于第一次考试为止。记第一次考试后，又进行了次才通过第二次考试。由于每次考题都是在题库中随机抽取的，所以所有考试均相互独立。 （1）求最终的平均成绩；（2）求。 解：由题意知 ，其中。于是 从而 于是： 又 从而 19、随机变量服从分布，概率密度函数为，，其中，称为“形状参数”，称为“尺度参数”。求（）和。 解 机器处于不同状态时制造产品的质量有所差异。如果机器运作正常，则产品的正品率为98%；如果机器老化，则产品的正品率为90%；如果机器处于需要维修的状态，则产品的正品率为74%。机器正常运作的概率为0.7，老化的概率为0.2，需要维修的概率为0.1.先随机抽取了100件产品（假设生产这些产品的机器的状态相互独立），求 产品中非正品数的期望与方差； 在已知这些产品都是正常机器制造出来的条件下，求正品数的期望和方差。 解 (1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有： ， 用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100，0.06)，有： （参考77页的例4.2.5） 用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98)，于是 设随机变量和独立，且方差存在，证明： 解 证明： 接第20题，（1）求与的相关系数，并判断两者是否相关； （2）判断与是否独立？ 解（1）由相关系数的定义，得： ，其中 通过计算得，即，从而说明是不相关的。 （2）很显然，不是相互独立的。 27、随机三角形ABC，角A与角B独立同分布，其分布律均为 A P 其中，，且满足。已知。 写出的联合分布律； 求； 求角A与角C的相关系数，并由此判断它们的相关性（若相关，要求说明是正相关还是负相关）。 解（1）由题意得： ， 结合已知条件，可求出：， 由于A和B是独立同分布的，于是（A,B）的联合分布律为： A B