数值分析实验报告-插值逼近.docx

实验报告：函数逼近插值多项式补充问题1：对于给函数，取点，k取0，1，…，n。n取10或20。试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。问题2：对于给函数在区间[-1，1]上取xi=-1+0.2i（i=0,1,2,…,10），试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。应用所编程序解决实际算例。实验要求：认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；编写相关程序并进行实验；调试程序，得到最终结果；分析解释实验结果；按照要求完成实验报告。实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章、第三章相关内容。实验内容：（1）问题1：这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。当n=10时，代码为：clear allclck=0:10;n=length(k);x1=cos((2*k+1)/2/n*pi);y1=1./(1+25.*x1.^2);f=y1(:);for j=2:n for i=n:-1:j f(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:n F(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1)); p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel(x)ylabel(y)由此我们可以得到P10(x)=-46.633*x^10+3.0962e-14*x^9+130.11*x^8-7.2714e-14*x^7-133.44*x^6+7.1777e-14*x^5+61.443*x^4-1.5805e-14*x^3-12.477*x^2-1.6214e-16*x+1.0并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 1。Fig.1 牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形当n=20，将上述代码中的“k=0:10;”改为“k=0:20;”即可。由此我们可以得到P20(x)=6466.6*x^20+8.0207e-13*x^19-34208.0*x^18-3.5038e-12*x^17+77754.0*x^16-99300.0*x^14+3.7253e-9*x^13+78236.0*x^12-39333.0*x^10+12636.0*x^8-4.6566e-10*x^7-2537.3*x^6+306.63*x^4-21.762*x^2+1.0并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig. 2。Fig.2牛顿插值多项式（n=20）函数和原函数图形回顾一下实验一的结果（见Fig. 3），我们不难发现，仅仅是改变了x的取值，结果发生了很大的变化。实验一中，插值多项式与原函数产生了很大的偏差，并且随着分的段数的增加，其误差不断变大，但是在本次实验中，我们不难发现，虽然多项式依旧存在震荡现象，但是误差小了很多，而且随着分的段数的增加，插值多项式曲线与原函数曲线已经十分接近了。Fig.3实验一结果这个例子说明：采用切比雪夫节点替代等距节点可以消除龙格现象。（2）问题2：分析问题，发现在这个问题中，我们已经知道了原函数，同时它也告诉我们所需取的11个点的值，所以这里可以用两种方法进行函数逼近得到拟合曲线。首先采用最小二乘法来考虑这个问题，编写代码如下（这里没有直接调用polyfit函数）：clear allclcn=3;x1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);syms S G d a x;for i=1:n+1; for j=1:n+1; G(i,j)=sum(x1.^(i+j-2)); endendfor i=1:n+1; d(i)=sum(x1.^(i-1).*y1);enda=G^-1*d;for i=1:n+1 X(i)=x^(i-1);endS=vpa(X*a,5)x0=-1:0.001:1;y0=subs(S,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel(x)ylabel(y)我们可以得到一个三次多项式：S3=1.1665e-16*x^3 - 0.57518*x^2 - 9.4553e-17*x + 0.48412。同时我们也可以得到它与原函数的图形，如图Fig. 4。Fig.4 最小二乘法n=3的结果