数列中的存在性问题经典(教师).doc

专题：数列中的存在性问题 单存在性变量 解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。 例1、已知数列{}的前项和为=，在数列{}中，=8，=0，问是否存在常数使得对任意，恒为常数，若存在求出常数和,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数使得对任意，恒为常数， ∵=， ∴当=1时，则==8， 当≥2时，===， 当=1适合， ∴=， 又∵=0， ∴=， ∴数列{}是首项为8，公比为的等比数列， ∴==， 则===， 又∵对任意，恒为常数， ∴=0，解得=2， ∴==11， ∴存在常数=2使得对任意，恒为常数=11. 二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。 例2、【2010南通一模】 设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 ………………2分 即解得……………………………………………………………4分. 故.…………………………………………………………………6分 由（1）知.要使成等差数列，必须，即，………………………………………………………………8分. 整理得，…………………………………………………………… 11分 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5. 当时，；当时，；当时，. 故存在正整数t，使得成等差数列. ……………………………… 15分 例3、设数列的前项和，数列满足. （Ⅰ）若成等比数列，试求的值； （Ⅱ）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）因为，所以当时，……………………3分 又当时，，适合上式，所以（）…………………4分 所以，则，由， 得，解得（舍）或，所以………………7分 （Ⅱ）假设存在，使得成等差数列，即，则 ，化简得…………………………………12分 所以当时，分别存在适合题意， 即存在这样，且符合题意的共有9个 ………………………………………14分 例4、【2010徐州三模】 已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式及数列的前n项和为； （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）因为是等差数列，由， 又因为，所以，………………………………………………………2分 由 所以．……………………………6分 (2)由(1)知，， 所以， 若成等比数列，则，即．……8分 解法一：由，可得， 所以， ……………………………………………………………12分 从而：，又，且，所以，此时． 故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。…………16分 解法二：因为，故，即，………12分 从而：，（以下同上）． 三个存在型变量------连续的 解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。 例5、【扬州2010一模】 已知数列，. ⑴求证：数列为等比数列； ⑵数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由； ⑶设，其中为常数，且， ，求A∩B. 解：⑴∵=，∴， ∵∴为常数 ∴数列为等比数列------------------------------------------------------------4分 ⑵取数列的连续三项， ∵， ，∴，即， ∴数列中不存在连续三项构成等比数列； ------------------------------------------9分 ⑶当时，，此时； 当时，为偶数；而为奇数，此时； 当时，，此时；-------------------------------------