数字信号处理(三版)课后习题答案.doc

第二章 2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos() （2）x(n)= （3）x(n)=Asin() 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，得出。因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=。 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[]n,得出。因此是无理数，所以不是周期序列。 （3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos()，又x(n)=Asin()＝Acos()＝Acos()，得出。因此是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N= 2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。 解 利用线性卷积公式 y(n)= 按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3 y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2 (b) x(n)=2(n)-(n-1) h(n)=-(n)+2(n-1)+ (n-2) y(n)=-2(n)+5(n-1)= (n-3) (c) y(n)= ==u(n) 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=u(n)*u(n) 解：(1) y(n)= ==(n+1),n≥0 即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= ==,n≥0 即y(n)=u(n) 2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h(n)和h(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h(n)=(n)-(n-4), h(n)=au(n),|a|1,求系统的输出y(n). 解 (n)=x(n)*h(n) =[(n-k)-(n-k-4)] =u(n)-u(n-4) y(n)=(n)*h(n) =[u(n-k)-u(n-k-4)] =,n≥3 2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=au(-n),0a1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。 2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。 证明 （1）交换律 X(n) * y(n) = 令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此线性卷积公式变成 ` x(n) * y(n) = ==y(n) * x(n) 交换律得证. (2)结合律 [x(n) * y(n)] * z(n) =[] * z(n) =[]z(n-t) =x(k) y(t-k)z(n-t) =x(k) y(m)z(n-k-m) =x(k)[y(n-k) * z(n-k)] =x(n) * [y(n) * z(n)] 结合律得证. (3)加法分配律 x(n) * [y(n) + z(n)] = x(k)[y(n - k) +z(n - k)] =x(k)y(n-k)+ x(k)z(n - k) =x(n) * y(n) + x(n) *z(n) 加法分配律得证. 2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明 (1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[n+] (3)y(n)= (4)y(n)= (5)y(n)= x(n)g(n) 解 （1）设y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于 y(n)=2[x(n)+x(n)]+3 ≠y(n)+ y(n) =2[x(n)+x(n)]+6 故系统不是线性系统。 由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而 y(n-k) = T[x(n-k)] 故该系统是非移变系统。 设|x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|∞ 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （2）设 y1(n)=ax1(n)sin[n+] y2(n)=bx2(n)sin[n+]