数学建模-新产品销量预测问题.doc

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数学建模-新产品销量预测问题

销量预测问题 摘要 本文通过建立微分方程模型,探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、由理想到现实,逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况,分析了广告费用对销售量产生的影响,建立比较符合现实的模型。 问题一中,新产品的投入,没有市场竞争,有良好的市场环境,也有良好的口碑,故属于较为简单的微分方程模型,可直接建立模型。 问题二中,产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比,故建立阻滞增长模型求解。 问题三中,则考虑了广告费用对产品销量的影响,分析了广告费用与销售速率之间的关系,建立数学微分方程模型,并运用了Matlab软件编程求解。 问题提出 一种新产品问世,经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施,使得产品销量大,获取更大的利润,这是每个经营者最为关注的问题。 1、设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量; 2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量; 3、试考虑影响产品销量的广告因素,并建立模型,预测时的产品销量. 模型假设与符号系统 模型假设: 模型基本假设:; 假设1:在考虑影响商品销售的因素时,不考虑偶然因素,如经济、战争因素、政治干预等; 假设2:产品的销售量符合产品的生命周期; 假设3:产品为日常用品,不是耐用品,每个人都需要。 符号系统: x(t) 为t时刻新产品的销售量 a 为每件新产品的宣传效率 N 为市场的销售容量 b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数 s(t) 为商品t时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份,八月份的销售量,而不是总销售量) M(t) 为t时刻的广告费用 θ 为销售量本身的衰减系数 ? 为广告宣传对销售速率的影响 T 为商品销售速率最大的时刻 模型的建立与求解 问题一模型的建立与求解: 模型的建立: t时刻时,新产品的销售量为x(t),把x(t)当做连续、可微函数处理。 每件新产品都是宣传品,且单位时间内每件新产品能够使a件新产品被销售。 由假设可知: x(t+?t)-x(t)=ax(t) 即: 开始时有件新产品被销售 x(0)= 整理得: 求解得: 问题二模型的建立与求解: 模型的建立: 事实上,往往是有上界的。针对模型上述欠缺,我们来修改模型,统计表明与该产品的潜在销量成正比,且设b为销售量的增长率与潜在销售量的比例系数 则: 用matlab软件求解得: 问题三模型的建立与求解: 模型的建立:与实际情况比较,所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。然而事实上,厂家在产品销售之初,往往是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。 另由图像分析可知 商品的销售速度与广告费用成正比,即 但是在市场趋于饱和,销售量趋于极限值N时,销售速度将会下降(广告作用下降,当s(t)趋近于N,广告作用趋近于零)。 产品生命周期一般分为四个阶段: 引入期:指新产品投入市场的初期阶段,也叫投入期。因这一阶段,用户对产品不太了解,需要做大量的广告宣传工作,向用户推荐介绍产品,所以这一时期也叫做介绍期。 成长期:市场销售量迅速增长的阶段。 成熟期:销售量很大,而且稳定,增减幅度不大。销售量最高点也是在这一时期。 衰退期:产品已经陈旧老化,销售量下降很快。 由产品的生命周期可知,自然衰退是商品销售速度的一种性质,即产品销售速度随销售量的增加而下降。 由于商品本质属性中销售衰减期的存在,所以我们建立模型如下: 特别:M(t)=0,s(t)=N时,得到 若M(t)复杂,则方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系,当销售进行到一定时刻,无论如何做广告,销售速度都将下降。故设广告总费用为m,为讨论方便,设在T时间内做广告且取M(t)=m/T,即取广告策略为: 相当于在开始到T时间内,平均投入广告费用,时间T后不再作广告。 代入方程: 当0tT时, (0tT) 令 则方程化为一阶非齐次线性方程 得: 若s(0)=s0,则c=s0-q/p, 从而 当tT时,由 s(t)=-s(t) 得:, s(t)= 当t=T时,由s=s(T)=,由(1)算出得 即

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