数学定义域和值域.doc

函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f x 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y f x ，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f x | x∈A 叫做函数的值域． 经典例题透析 类型一、函数概念 　1.下列各组函数是否表示同一个函数？ 1 2 3 4  小结1:相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 两点必须同时具备 2.求下列函数的定义域 用区间表示 . 1 ；　　 2 ；　　　 3 .求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： 1 分式的分母不等于零； 2 偶次方根的被开方数不小于零； 3 对数式的真数必须大于零； 4 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. 6 指数为零底不可以等于零， 7 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3．值域 : （先考虑其定义域） 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出； 2.分离常数法：可将其分离出一个常数；　　3.观察法：利用函数的图象的最高点和最低点，观察求得函数的值域；　 4.判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；　　5.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.　　例题详见备课本 5. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 ∵ ∴ 解得： 故所求函数的值域为 例3. 求函数的值域。 解：令， 则 ∵ 又，由二次函数的性质可知 当时， 当时， 故函数的值域为 正确用判别式法求值域“着重点”辨析 用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析 着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论 例1 求函数的值域。 错解 原式变形为 （*） ∵，∴，解得。 故所求函数的值域是 分析 把代入方程（*）显然无解，因此不在函数的值域内。事实上，时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“”来判定其根的存在情况是不正确的，因此要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。 正解 原式变形为 （*） （1）当时，方程（*）无解； （2）当时，∵，∴，解得。 由（1）、（2）得，此函数的值域为 着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形 例2 求函数的值域。（把题目中的x+1改成减） 错解 移项平方得：， 由解得，则原函数的值域是. 分析 由于平方得，这种变形不是等价变形，实际上扩大了的取值范围，如果从原函数定义域，那么，显然是错误的。 正解 令，则t0，得，， 又0，， 故原函数的值域为 着重点3 力求先化简，不盲目用判别式法 当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式 例3 求函数的值域 错解 ，即 当，即时，由②得（舍去），； 当即时，得, 。 综上可述，原函数的值域为 |且 。 分析 事实上，当，即 时，解得，而当时原函数没有意义，故。错误的原因在于，当时， 的值为零，所以是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。 正解 原函数可化为 ，即, ，且 故原函数的值域为 |且 。