数学高二(上)沪教版(求数列的通项公式----构造等差(比)数列求数列的通项)教师版.doc

年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 求数列的通项公式----构造等差（比）数列求数列的通项 教学目的 掌握通过构造等差或等比数列来求数列的通项公式的方法 教学内容 【知识梳理】　 1、等差数列的通项公式及其推导方法 2、等比数列的通项公式及其推导方法 【典型例题分析】 1、利用待定常数法（也是最常考的一种方法） 例1、已知数列｛n ｝中，若1=1，且n+1=3n-4(n=1,2,3,…). 求数列的通项公式n. 分析：若关系式是n+1=3n即为等比数列，因此考虑处理-4，若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列｛n+x｝。 解：设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3（n+x)，即n+1=3n+2x,比较系数得：x=-2 n+1-2=3(n-2) 数列｛n-2｝是以1-2=-1为首项，公比为3的等比数列 n-2=（-1）3n-1 即n = -3n-1+2. 说明：给出一阶递推关系式形如 (n=1,2,…),A、B为常数，均可使用待定常数法，构造等比数列求出通项。 变式练习1：已知中且求此数列的通项公式. 解：，则.与进行比较，可得t=1， 则有 . 设， 则有. ∴是以为首项，2为公比的等比数列 ，∴ 例2、已知数列｛n ｝中，前n项和sn = 2n-3n, 求数列的通项公式n. 分析：已知等式中不是递推关系式，利用可转化为：n -2n-1=2,考虑3n-1是变量，引入待定常数x时，可设n- x=2(n-1- x),从而可构造等比数列。 解：1=s1=21-3 则1=3， 当n(2时， =（2n-3n）-（2n-1-3n-1）n-2n-1=2 ,设其可恒等变形为：n- x=2(n-1- x)，即 n -2n-1=x ,比较系数得：x=2. n- 2=2(n-1- 2 ) 数列｛n- 2｝是以1-6=-3为首项，公比为2的等比数列。 n- 2=（-3）2n-1 n=2-3. 说明：对于型如n=An-1+f(n)（A为常数）的一阶递推关系式。可利用待定常数法，构造等比数列；但须体现新数列相邻两项的规律性，设其可恒等变形为：n- xg(n)=A[n-1- xg(n-1)],若x存在,则可构造等比数列{ n- xg(n)}。 变式练习1：已知数列中，=， （n≥2），求. 解：将原递推式化作： ， 则 两式相减得 ∴数列{}是以首项为，公比为的等比数列.∴=×， 又 ∴ =. 变式练习2：设数列求数列的通项公式． 解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而． 2 、利用配方法 有些递推关系式经“配方”后，可体现等差（比）的规律性。 例3、设n(0，1=5，当n(2时，n+n-1=+6, 求数列的通项公式n。 分析：给出的递推关系式不能反映规律性，因此考虑去分母得：2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性，变形为：2n-2n-1-6n+6n-1=7，即（n-3）n-1-3)2=7. 解：由n+n-1=+6（n(2）变形为： 2n-2n-1=7+6(n-n-1) 即（n-3）n-1-3)2=7 （n(2） (数列{ }是以(1-3)2=4为首项，公差为7的等差数列 (=4+7（n-1）n(0 ( n=+3 说明：递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法，揭示规律，构造等差（比）数列。 3、利用因式分解 有些递推关系式经因式分解后，可体现等差（比）的规律性。 例4、已知数列｛n ｝是首项为1的正项数列，且2n+1 + 3n+1 - 22n + 3n - nn+1=0求数列的通项公式n。 分析:由已知递推关系式，若配方，则无法配成完全平方或完全平方项之和。因此考虑用因式分解化简，寻求更实质的关系。可变形为：n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2n）n+1（n+1 +3）+3n - nn+1 +n（-2 n）=0 (（n+1 + n）[（n+1 + 3）-2n]=0，而n(0 ( n+1 + 3 -2n=0，则利用待定常数法有（n+1 - 3）-2（n -3）=0 (数列{n -3}是以1-3=-2为首项，公比为2的等比数列。 (n-3 =（-2）2n-1 即n = 3-2n 说明：因式分解能达到化简的目的，使递推关系式简化，凸显规律性。 变式练习：设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式. 解：由题设得. ∵，，∴. ∴ 4 、利用对数 有些数列的递推关系式看起来比较复杂，但通过取对数变