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数理统计的基本概念 6、若这批合金 抽样和抽样分布 一 总体和样本 定义1 设 (1) 标准正态分布 四. 正态总体抽样分布定理 第四讲 例2 1．无偏性 是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 2. 极大似然法 极大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 一只野兔从前方窜过 . 是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 如果要你推测， 你会如何想呢? 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 . 以上这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就是极大似然法的基本思想 . 基本思想: 若事件 发生了, 则认为事件 中出现的概率最大。 最大似然估计 就是在一次抽样中,若得到观测值 则选取 若一试验有n个可能结果 现做一试验, 在这n个可能结果 作为 的估计值， 使得当 时,样本出现的概率最大。 最大似然估计法: 是 的一个样本值(如离散型) (1)设 事件 发生的概率为 的函数， 形式已知 X的分布律为： 的联合分布律为： 样本的似然函数 即取 使得： 与 有关, 记为 称为参数 的最大似然估计值 称为参数 的最大似然估计量. 达到最大的参数 作为 的估计值， 现从中挑选使概率 样本的似然函数 两点说明 2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用极大似然原则来求 . 使似然函数 达到最大的 即 的MLE， 记为 设 相互独立,都服从正态 分布N (0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为n的 分布. 分布的密度函数为 其中伽玛函数 相互独立, 都服从正态分布 则 且 X1，X2 相 这个性质叫 分布的可加性. (1)?? 设 (2) 设 互独立，则 性质 应用中心极限定理可得，若 则当n充分大时， 的分布近似正态分布 N (0,1). (4) （标准化） (3) 对于给定的正数 称满足条件 为 分位点. 分布的上 的点 分布的分位点 上 分位点。 双侧 分位点。 当 时 双侧 分位点 一般的 分布表只列到n=45, n45时，由 记为 T～t (n). 服从自由度为 n 的 t 分布. (3) t 分布 设X～N(0,1) , Y～ 则称变量 , 且X与Y相互独立， 当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。 t 分布的密度函数关于x = 0 对称 性质 （1）具有自由度为 n 的 t 分布的随机变量 T 的 当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度 （2）t 分布的密度函数关于 x = 0 对称，且 2. 性质 数学期望和方差为: E( T ) = 0; D( T ) = n / ( n - 2 ) , 对 n 2 函数的图形. 很大. 不难看到，当n充分大时， t 分布近似 N (0,1)分布. 但对于较小的n， t分布与N (0,1)分布相差 3 、 t 分布的分位点 对于给定的正数 称满足条件 的点 为 分位点”。 分布的“上 例 查t 分布表，附表3 取 当 时 ? 分布上侧α分位点 ? 分布下侧α分位点 ? 分布双侧α分位点 t的分布的双侧α分位点为满足 (4)F 分布 的F分布，n1称为第一自由度， 设 X与Y相互独立， 则称统计量 服从自由度为 称为第二自由度，记作 由定义可得 性质 F 分布的分位点 对于给定的正数 称满足条件 为 分布的 的点 上 分位点 即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1. (2)X的数学期望为: 若n22 (1)由定义可见， ~F(n2,n1) 2.性质 (3)F 分布的分位点 对于给定的正数 称满足条件 的点 为 分位点 分布的上 F 分布的性质 表中所给的 都是很小的数，如0.01，0.05等 当 表中查不出，由性质（2） 较大时，如0.95， 例1 设随机变量 求 的分布。 解 随机变量 与 独立 因而 由于 由定理 3 得 由题可知 的样本, 则有 定理1 (样本均值的分布) 设X1 , X2 , …, Xn 是来自正态总体 定理2 (样本方差的分布) 设 X1 , X2 , … , Xn 是取自正态总体 样本 , 分别为样本均值和样本方差. 则有 的 和 相互独立。