第八讲函数图象中点的存在性问题.docx

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 第八讲 函数图象中点的存在性问题 1、已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y． （1）求AB的长； （2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径． 满分解答 （1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE． 在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2． （2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．由△OAB∽△PAC，得．所以．所以． 在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．所以，．在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得． 整理，得．定义域为x＞0． 图2 图3 （3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC． 因此．所以．解方程，得．此时⊙P的半径为． ②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，． 如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．所以．因此． 解方程，得．此时⊙P的半径为． 图4 图5 图6 考点伸展 第（3）题②也可以这样思考： 如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2． 这样，△CAO的三边长为、、3．△PAC的三边长为、、． 2、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF． （1）求直线AB的函数解析式； （2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时． ①求证：∠BDE＝∠ADP； ②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 答案 （1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4． （2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP； ②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到． 图2 图3 图4 （3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下： 由△DMB∽△BNF，知．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得．因此．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)． ②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上． 图5 图6 3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点． （1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域． 图1 图2 图3 满分解答 在Rt△ABC中，AC＝6，， 所以AB＝10，BC＝8． 过点M作MD⊥AB，垂足为D． 在Rt△BMD中，BM＝2，，所以． 因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4 （2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况． ②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形． 在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时． ③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE． 在Rt△BOE中