150508第十三讲：弯曲挠度.docx

悬臂梁由两根槽钢背靠背(两者之间未作任何固定连接)叠加起来 放置,构成如图示.在载荷作用下,横截面上的正应力分布如图D所示.IIFzI-I剖面 z(A)(B)(C)(D)今天的内容：第六章梁的变形计算积分法计算梁的位移叠加法计算梁的位移超静定梁1. 概念1）梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。?FxxA?ωBy12）梁位移的度量：①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度?，顺时针转动为正 ②挠度：梁横截面形心的竖向位移 ω，向下的挠度为正③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—? ? ?(x)④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—??tg??d???(x)dx2. 挠度和转角的近似微分方程xdx?FA?xdsωBd?yB1?d?1）力学关系：1?M?EI2）几何关系：1??????????3 2??21? ?平面曲线的曲率???M ( x )??? ?M ( x)? EI? ?EIx(1)自然（重力）坐标x??? ??M ( x)MMMMM ?0?? 0EI， ??? 0， ??ωωM ?0?挠曲线近似微分方程：??? ??M(x)?EI ???M ( x)EI(2)数学笛卡尔坐标ω（本书）ωMM??? ?M ( x)MMM ?0?? 0EI， ??? 0， ??xM ?0?x挠曲线近似微分方程：?? ?M ( x)? EI ???M ( x)EI??3. 积分法求梁的位移曲线1）. EI??M(x)式中C1、C2为积积分一次?? M ( x )dx ? C1? EI?—转角方程；????? EI ?分常数，由梁边再积分一次界、连续条件确?????? EI ??? ( ?M ( x ) dx )dx?C1x?C2—挠曲线方程。定。2）.支承条件与连续条件:（1) 支承条件：??????? 0?? 0?? 0; ??? 0? ? ?（2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的FAB? |??? |? ，?|??? |C?x?Cx?Cx ?Cx ?C例2图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。wFAx?maxxB wmaxl解：建立坐标系如图 x处弯矩方程为：M ( x )??F (l ? x)列挠度微分方程并积分两次：EI ?? M ( x )? F ( x ? l)? EI ??Fx2? Flx ? C21? EI ??Fx 3?Flx2? C x ? C2621由边界条件决定积分常数： |x?0? 0 ，得：C1? 0；|x?0? 0 ，得：C2? 0转角和挠曲线方程分别为：??? ?F( x2? 2lx)F2EI? ?( x3? 3lx2 )6EI?2? x ? l时，?max??B? ?FL2EI?? ?FL3??x ? l时，?max??B? ?3EI?p343附录E例3求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。p343附录EAxF解： 1、求支反力BFA?Fb； FB?FaCbaFlFBllAAC 段(0? x1? a)CB段( a ? x ? l)2EI ??FbxEI ? ?Fbx?F ( x2? a)1l12l2 ?Fbx2EI ? ?Fbx2?F( x? a )2? CEI ?1? C22212l122l2EI ?1?Fbx13? C1 x1? D1EI ?2?Fbx 23?F( x2? a )3? C2x2? D6l6l62x ? a时，?????，则 C1? C 2;????? ，则 D1?D2x ?0处，??0，得 D ? D ?0;x ? l处，??0，得 C ? C2?Fb (b2?l2 )1216lAC段(0? x ? a)CB段(a ? x ? l)?1?Fbx1( x12?l2? b2)?2?Fbx2? x22? l 2? b2 ??F? x 2? a?36 EIl6EI6EIl? ?Fb(3 x2? l 2? b2)?2 ?Fb[ x22?l( x2?a ) 2?1 ( b2?l2 )]16EIl12 EIlb34.叠加法求解梁弯曲位移(6.5)1）叠加法：几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。2）变形表（p343附录E梁的挠度和转角）：各种支承下的静定梁在各种简单荷载下的转角、最大挠度和挠度方程。?BFFABqCFwBFAwCql / 2l / 2BqBACwBq例4 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转 角和挠度。qF1.在F作用下：Fl 2Fl3C查表：?BF? ?,?BF? ?A2 EI3EIl / 2l / 2B2.在q作用下：Fq (l / 2)3ql3?BF查表：?Cq? ?? ?AB6 EI48EIq (l / 2)4ql4wBF?Cq? ?8 EI? ?128EIw??Bq ??Cq?