第2章 条件概率的独立性.ppt

2.1 条件概率与乘法公式 2.1.1 条件概率 例1 在所有的两位数10到99中任取一个数。 (1) 求此数能被4整除的概率。 (2) 求此数为偶数的概率。 (3) 若已知此数为偶数，求此数能被4整除的概率。 解 设A={此两位数能被4整除}，B={此两位数为偶数}， 样本空间?={10,11,12,…,98,99} 共90个样本点 (1) A={12,16,…,92,96} 共22个样本点，P(A)=22/90=11/45 (2) B={10,12,14,16,…,96,98}共45个样本点, P(B)=45/90=1/2 (3) 若已知此数为偶数, 样本空间=?B=B，其样本点总数为45个；且能够被4整除的两位数样本空间=?A=A,其样本点总数为22个。 故AB={12,16,…,96}=?A?B，共22个样本点。 在已知B发生的条件下，事件A发生的概率p=22/45 叫做“条件概率”, 写成：P(A|B)=22/45 定义1 对事件A、 B，若P(B)＞0，则 称为事件A在事件B(条件)发生下的条件概率。 相对地，有时就把概率P(A)，P(B) 等称作无条件概率。 例3 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8,能活过25岁的概率是0.4, 问现龄20岁的该种动物能活过25岁的概率是多少？ 解 设 A={该种动物能活过20岁} B={该种动物能活过25岁} 依题意有： P(A)=0.8，P(B)=0.4 ∵ B?A ，∴ AB=B 例4 盒子中有4只坏晶体管和6只好晶体管，任取两只，第1次取出的不放回。若已经发现第1只是好的，求第2只也是好的的概率。 解法1 设Ai={第i只是好的}，i=1,2 解法2 在已经发现第1只是好的情况下，再取出第2只晶体管，样本空间变成只有9个样本点(9种可能结果)。 此时取出一只是好的样本点有5个。所以 这种方法是改变样本空间，用一般的P=r/n计算。 2.1.2 乘法公式 定理1 若P(A)＞0，则有 P(AB)=P(A)·P(B|A) 若P(B)＞0，则有 P(AB)=P(B)·P(A|B) 此公式称为乘法定理。 定理2 设A1, A2, …, An为n个任意事件，且满足 P(A1A2…An-1)＞0, 则有 P(A1A2…An)=P(A1)?P(A2|A1)?P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 上式表明，事件积的概率可通过一系列条件概率的乘积来计算。 证明：当P(A1A2?An-1)＞0时， 由于A1?A1A2?…?A1A2…An-1, 则有 P(A1)≥P(A1A2)≥…≥P(A1A2…An-1)＞0 由条件概率的定义，得 □ 顺便指出，当P(A1A2…An-1)=0时，可知 P(A1A2…An)=0 例6 设有10个球，7新3旧，分别放在三个盒子中。○表示新球，●表示旧球。现从中任取一球，问此球为新的概率。 解 新=甲且新∪乙且新∪丙且新 P(新)=P(甲且新)+P(乙且新)+P(丙且新) =P(甲)P(新|甲)+P(乙)P(新|乙)+P(丙)P(新|丙) = 例7 为安全起见，工厂同时装有两套报警系统1,2。已知每套系统单独使用时能正确报警的概率分别为0.92和0.93，又已知第一套系统失灵时第二套系统仍能正常工作的概率为0.85, 试求该工厂在同时启用两套报警系统时，能正确报警的概率是多少？ 解 A={工厂同时启用两套报警系统时,能正确报警} ={报警系统1，2中至少有一套能正常工作} Bi={第i套报警系统能正常工作}的事件，i=1,2 则有 A=B1∪B2 则有P(A)=P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)-P(B1B2) =0.92+0.93-0.862 =0.988 2.2 全概率公式与贝叶斯公式 2.2.1 全概率公式 定理3 设B1,B2,…Bn …为一列(有限或无限个)两两互不相容的事件，有 则对任一事件A，有 证 因为B1, B2, …, Bn, …是互不相容的， 则AB1, AB2, …, ABn, …也是互不相容的。 由于