第3节 条件概率的独立性.ppt

* 第三节 一、条件概率 在概率论里，不仅需要研究某事件B 发生的概率P(B),还需要研究在另一个事件A发生的条件下，事件B 发生的概率，称它为条件概率，记为P(B|A). 定义： 对于两个事件A与B，如果P(A)0,称 为在事件 A发生的条件下,事件 B 发生的条件概率. 古典概型中条件概率的计算 事件数为k个,则条件概率 设试验E的基本事件总数为n ,且所有基本事件 的概率都相等,即样本空间? 由n个等可能的样本 点组成,事件A的基本事件数为m个,事件AB的基本 故条件概率P(B|A)是在缩减后的样本空间中讨论. 条件概率P(B|A)的计算方法: (1)按照条件概率的定义计算: (2)在缩减后的样本空间中按古典概率的定义 计算. 例1. 一批产品100件,有80件正品,20件次品,其中 甲生产的为60件,有50件正品,10件次品,余下的40 件均为乙生产.现从该产品中任取一件,记A=“正品”, B=“甲生产的产品”,写出概率 P(A), P(AB), P(B|A). 例2 设袋中有7个黑球,3个白球, 不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率. 若改为放回摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则 不放回: 放回: 例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄 段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？ 解 记 A={活到50岁}, 显然 B={活到51岁}, 所以 P(A)=0.90718, P(B)=0.90135,从而 不难验证条件概率具有以下三个基本性质： (1) 非负性 (2) 规范性 (3) 可列可加性 并由此推出条件概率的其他性质： 二、乘法公式 由条件概率的定义： 即若P(B) 0, 则 P(AB)=P(B) P(A|B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反过来求 P(AB). 若P(A) 0, 则 P(AB)=P(A) P(B|A) 乘法公式 推广到三个事件：若P(AB)0, 则有 P (A1A2…An ) =P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) 一般, 与次序无关. 注:乘法公式常用来计算交事件的概率! 例1 解 例2 某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率. 解 记 A：合格品；B：一等品， 即一等品率为72%. 例4 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4．求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？ 解 记A：第一次进攻中，甲击落乙； B：第二次进攻中，乙击落甲； C：第三次进攻中，甲击落乙． 由题意知 则甲机被击落的概率为 例4 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4．求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？ 解 乙机被击落的概率为 设有两个事件A,B, 一般来说, P(A|B)与P(A)是有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件A发生的概率，即P(A|B)=P(A). 显然 P(A|B)=P(A) A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 例如, 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 三、事件的独立性 由乘法公式知，有 P(AB)=P(B)P(A|B) P(AB)=P(A) P(B) 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. 定义 注: 相互独立与互不相容的关系 两事件相互独立 两事件互不相容 二者之间没 有必然联系 例：掷两次硬币 事件A=“第一次正面向上” 事件B=“第二次正面向上” 显然，A与B相互独立，但A与B不是互不相容的. 这就是说,事件B发生与否并不会影响事件A发生的概率. 推论1 设A与B为两个事件,P(B)0,则A与B 相互独立的充要条件是 则下列各对事 件也相互独立. A、B独立 证明 由独立的对称性, 可得其余结论. 推论2 推论3 若事件A与B的概率都不等于0, 则以下式子等价: 这就是说,事件A发生与否并不会影响事件B发生的概率,事件B发生与否并不会影响事件A发生的概率. 定义1.4 对于事件A与B,若其中一