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初中數学常用的解题方法
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校信通众享教育九年级学习指导材料——
初中数学常用的解题方法(二)
时至阳春三月,离中考的日子又近了几分,衣带渐宽终不悔,厉马秣兵,唯我独尊!希望大家能在接下来的三个月内,百尺竿头,更进一步!
HYPERLINK /News1.aspx \o 学习广场 数学的解题方法是随着对数学对象研究深入而发展起来的.在临近中考的复习阶段,钻研习题、总结解题方法,可以促进自己进一步熟练地掌握中学数学教材,更好地找到解决问题的办法,提高解题技巧,以便在最快最短的时间内提高自己的成绩.本材料从初中数学学科出发,系统地帮助学生总结初中学习解题过程中的常用方法,希望能对同学们最后几个月的成绩提高推波助澜.(常用方法十种,本次继材料《初中数学常用的解题方法(一)》给出后五种方法)
六、构造法
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法.运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决.
例 一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m时,拱高是2m.当水面下降1m后,水面宽度是多少?(结果精确到
【点拨】本题和实际问题结合紧密,图象是我们学过的抛物线,所以要学会构造数学模型,建立坐标系,通过这种方法,可以很巧妙地利用我们学过的知识.
解:如图所示,以桥面为x轴,以抛物线的对称轴为y轴建立坐标系,则点O(0,0),A(-2,-2),B(2,-2)设拱桥抛物线的函数为
又因为抛物线过点O、A、B,由图可知点A、B关于y轴对称,点C、D关于y轴对称.将点O、A、B的坐标代入抛物线的函数,可得:
解得:,则抛物线的方程为
设点C(-m,-3),D(m,-3)可的m=,那么CD=
所以,若水面下降1米,水面的宽度为.
练习:如果有两个因式和 ,则a +b的值是
(注:此题难度较大,学有余力的同学可以挑战一下!)
七、反证法
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个.
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨,导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.
例 已知:如图,l1∥l2 ,l2∥l3,求证: l1∥l3
【点拨】此题直接证,证起来不太容易,如果能够采用从反面来证的话,非常容易达到目的.
证明:假设不平行,则与相交,设交点为P.
∵∥ , ∥,
则过点P就有两条直线、 都与平行,这与“经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾.
所以假设不成立,即求证的结论成立,即 ∥
练习:
已知:如图,直线a、b被直线c所截,
∠1 ≠ ∠2
求证:a∥b
八、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果.运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法.
用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线.面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果.所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置辅助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到.
例 如图,已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC = 90°,BE⊥CD,CD =BC.求证:AB = BE.
【点拨】一般的四边形问题,通常就是把它转化为三角形来处理.初看AB与BE这两条线段,它们之间并没有什么明显的联系.在这里,作DM⊥BC,连接BD就实现了转化.
证明:连接B
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