计算机图形学CG06-图形几何变换重点分析.ppt

第6章 图形几何变换 本章目标 学习如何使图形运动 平移变换、旋转变换和放缩 学会复杂变换的分解与合成 学会使用OpenGL的几何变换函数 主要内容 数学基础 二维几何变换 齐次坐标 复合变换 其它变换 三维几何变换 图形对象的几何变换 OpenGL的几何变换函数 6.1 数学基础 矢量（vector） 连接两个点的有向线段。又称向量 行向量和列向量两种表示 矢量和 6.1 数学基础 矢量的数乘 矢量的点积 运算 性质 6.1 数学基础 矢量的长度 单位矢量 矢量间的夹角 矢量的叉积 6.1 数学基础 矩阵（Matrix) m×n 阶矩阵 n阶方阵（m＝n） 单位矩阵 n阶方阵，对角线元素为1， 其它元素为0 6.1 数学基础 矩阵（续） 行向量与列向量 当m＝1时，A退化为行向量[a11, a12, …, a1n] 当n＝1时， A退化为列向量[a11, a21, …, am1]T 矩阵的加法 A=(aij)m×n，B＝(bij) m×n A与B的和记为A＋B 性质：结合律和交换律 6.1 数学基础 矩阵（续） 矩阵的数乘 矩阵的乘法 性质：结合律和分配律（不满足交换律） 6.1 数学基础 矩阵（续） 矩阵的转置 矩阵的逆 n阶方阵A是可逆的，若存在另一个n阶方阵B，使得 AB＝BA＝In，称B是A的逆阵，记为B＝A－1 6.2 二维几何变换 平移变换 (translation transformation) 将点P(x, y)在x轴方向、y轴方向分别平移距离tx，ty，得到点P′(x?, y?)，则 6.2 二维几何变换 旋转变换(rotation transformation) 如 点P(x, y)的极坐标表示 （r为P 到原点的距离） 绕坐标原点（称为参照点，基准点）旋转角度θ （逆时针为正，顺时针为负） 6.2 二维几何变换 旋转变换(续） 6.2 二维几何变换 放缩变换(scaling transformation) 将点P(x, y)在x方向, y方向分别放缩 sx 和 sy 倍，得到点P′(x?, y?) 以坐标原点为放缩参照（基准）点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它离原点的距离 6.2 二维几何变换 利用矩阵计算变换后的坐标时，平移、旋转和放缩变换分别为： 运算不统一，如何统一运算？ 6.3 齐次坐标 定义 Homogeneous Coordinate （x，y）点对应的齐次坐标定义为 （x，y）点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 标准齐次坐标（x，y，1） h＝0表示无穷远点 6.3 齐次坐标 二维变换的矩阵表示 平移变换 旋转变换 6.3 齐次坐标 放缩变换 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 连续变换时，可以先得到变换的矩阵 便于硬件实现 6.3 齐次坐标 变换的性质 平移和旋转变换具有可加性 放缩变换具有可乘性 6.3 齐次坐标 逆变换 逆平移变换：正平移距离tx，ty 逆旋转变换：旋转角度为θ 6.3 齐次坐标 逆放缩变换：放缩系数为sx和sy 6.4 复合变换 变换合成 方法：连续变换时，先计算变换矩阵，再计算坐标 优点： （1）提高了对图形依次做多次变换的运算效率 如：图形上有n个顶点Pi，如果依次施加的变换为T，R，那么顶点Pi 变换后的坐标为 6.4 复合变换 变换合成 （续） （2）提供构造复杂变换的方法 对图形作较复杂的变换时，不直接去计算这个变换，而是将其先分解成多个基本变换，再合成总的变换 复合变换 Composite transformation 多个变换的组合 可通过单个变换矩阵来计算矩阵乘积 6.4.1 复合平移变换 连续平移变换 平移向量为(t1x，t1y)和(t2x，t2y) 点P 经变换为P′，则有 复合矩阵 6.4.2 复合旋转变换 连续旋转 P 经连续旋转角度分别为 ?1 和 ?2 后 连续旋转具有相加性 6.4.3 复合放缩变换 连续放缩 连续放缩因子分别为：(s1x, s1y) 和 (s2x, s2y) 6.4.4 二维基准点旋转 关于任意参照点 的旋转变换 步骤：（1）平移对象使参照（基准）点移到原点（2）绕坐标原点旋转（3）平移对象使基准点回到原始位置 6.4.5 二维基准点放缩 6.4.6 小结 6.5 其它变换 对称变换（反射变换、镜像变换：reflection） (1)关于 x 轴的对称变换 (2)关于 y 轴的对称变换 6.5