计算机图形学第六章重点分析.ppt

在当今的工程制造领域，计算机辅助设计/制造(CAD/CAM)占着重要的地位。曲线和曲面作为一门崭新的数学与计算机科学相交叉的边缘学科，近几十年来发展迅速，其应用领域日益广泛。 本章简单介绍一些简单的曲线基本理论与方法，让同学们了解了解一些曲线的构造方法。 CAD/CAM CAD/CAM CAD/CAM CAD/CAM CAD/CAM CAD/CAM CAD/CAM 1. 概述 2. Bezier曲线 3. B样条曲线 6.1 概 述 曲线的分类 规则曲线 具有确定描述函数的曲线，如圆锥曲线、正弦曲线、渐开线等。 拟合曲线（不规则曲线或自由曲线） 由离散的特征点(或称为型值点)构造函数来描述的曲线称为拟合曲线，也称自由曲线。 这里的特征点是通过实验、测量或计算得到的。对于同样的特征点，由于构造函数的方法不同， 因而出现了诸如最小二乘法拟合曲线、三次参数样条曲线、Bézier曲线、B样条曲线、非均匀有理B样条(NURBS)曲线等众多曲线。 6.1 概 述 6.1 概 述 研究分支 计算几何 1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义 CAGD (Computer Aided Geometrical Design) 1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一次国际会议上提出 研究内容 对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示 对形状数学描述的要求？ 6.1 概 述 自由曲线曲面的发展过程 参数曲线基础（1/6） 曲线的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示 参数曲线基础（2/6） 参数表示 参数的含义 时间，距离，角度，比例等等 规范参数区间[0，1] 参数曲线基础（3/6） 参数矢量表示形式 例子：直线段的参数表示 参数曲线基础（4/6） 参数连续性 传统的、严格的连续性 称曲线P = P(t)在 处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足 记号 参数曲线基础（5/6） 几何连续性 直观的、易于交互控制的连续性 0阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处0阶几何连续，如果它在 处位置连续，即 记为 1阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处1阶几何连续，如果它在该 处 ,并且切矢量方向连续 记为 参数曲线基础（6/6） 2阶几何连续 称曲线P=P(t)在 处2阶几何连续，如果它在 处 （1） （2）副法矢量方向连续 （3）曲率连续 参数表示的好处 与非参数形式相比，参数形式具有以下优点: (1)能满足几何不变性的要求。 (2)便于进行几何变换。 (3)便于处理多值问题和垂直切线等无限大斜率问题。 (4)规格化的参数变量t∈［0,1］，使其相应的几何形体是有边界的，而不必用另外的参数去定义其边界。 参数表示的好处 (5)便于曲线、曲面的分段、分片描述。 (6)提供了更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 (7)易于用向量和矩阵的表示来简化方程，达到简化计算的目的。 参数多项式曲线（1/4） 为什么采用参数多项式曲线 表示最简单 理论和应用最成熟 定义--n次多项式曲线 参数多项式曲线（2/4） 矢量表示形式 加权和形式 缺点 没有明显的几何意义 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难 参数多项式曲线（3/4） 矩阵表示 矩阵分解 几何矩阵 控制顶点 基矩阵M 确定了一组基函数 参数多项式曲线（4/4） 例子—直线段的矩阵表示 绘制曲线的基本方法 绘制曲线的基本方法 绘制曲线的基本方法 绘制曲线的基本方法 自由曲线曲面构造方法 已知条件的表示方法 一系列有序的离散数据点 型值点 控制点 边界条件 连续性要求 构造自由曲线曲面的方法 拟合方法举例：最小二乘法 最小二乘法 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 最小二乘原理 6.2 Bezier曲线 1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用 Bezier曲线（1/19） Bezier基函数--Bernstein多项式的定义 Bezier曲线（2/19） Bernstein基函数的性质 正性 权性 对称性 降阶公式 升阶公式 Bezier曲线（3/19） 导数 积分 最大值 在t = i/n