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近世代数复习思考题 一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题 1.剩余类加群Z12有_________个生成元. 2、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群. 4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为———。 5. 模8的剩余类环Z8的子环有_________个. 6.整数环Z的理想有_________个. 7、n次对称群Sn的阶是分解为互不相交的循环之积是————。 9.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 10. 中的所有可逆元是：__________________________. 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。 12. 设为循环群，那么（1）若的阶为无限，则同构于___________，（2）若的阶为n，则同构于____________。 13. 在整数环中，=__________________； 14、n次对称群Sn的阶是_____. 15. 设为群的子群，则是群的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个n是_________. 23、设Z7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________. 24. 设为群，，若，则_______________。 25、设群G=｛e，a，a，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =___. 26. 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个. 27、整数环Z的商域是________. 28. 整数加群Z有__________个生成元. 29、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是————————。 30. 已知为上的元素，则＝__________。31. 每一个有限群都与一个__________群同构。 32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是：x→x＋2，x∈R， 则是从A到B的（ ） A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。 A.2 B.4 C.6 D.8 4、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( ) A 5； B 6； C 7； D 9. 5、下面的集合与运算构成群的是 ( ) A {0，1}，运算为普通的乘法； B {0，1}，运算为普通的加法; C {-1，1}，运算为普通的乘法； D {-1，1}，运算为普通的加法; 6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( ) A 左、右消去律都成立； B 左、右消去律都不成立; C 每个非零元都有逆元； D 每个非零元都没有逆元; 7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( ) A 在环的同态满射下，理想的象是理想; B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想; C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想 D 环的最大理想就是该环本身. 8.整数环Z中，可逆元的个数是( )。 A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个 9. 设M2(R)= a,b,c,d∈R，R为实数域按矩阵的加法和 乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环 10. 设Z是整数集，σ(a)= ，，则σ是R的( ). A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是R的变换 11、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集 的同态满射的是(?????? )A、x→10x B、x→2x C、x→|x| D、x→-x . 12、设是正整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（ ） A、不适合交换律 B、不适合结合律 C、存在单位元 D、每个元都有逆元. 13.设={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则 中与元（1 2 3）不能交换