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近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）； （4）； （5）；。 3、元素的阶 使成立的最小正整数叫做元素的阶，记作；若这样的正整数不存在，则称的阶是无限的，记作。 （1）。 （2）若，则 ①； ②由可得。 （3）当群是有限群时，，有且。 （4），其中。 证明 设。因为，所以。 另一方面，因为，所以，从而，又，所以，故。 注：1( ，但若，且，则有（P70.3）。 2( ；但。 例1 令，则关于普通乘法作成群。显然，1是的单位元，所以，有，但。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合上的变换群。 （1）变换群的单位元是的恒等变换。 （2）的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设是中元素，求。 解 （1）元集合的所有置换作成的置换群，叫做次对称群，记作。 （2）。 （3）每个元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）。 （5）任一有限群都与一个置换群同构。 5、循环群：若群中存在元素，使得，则称是循环群。 （1）循环群是交换群（P61.1）。 （2）素数阶群是循环群（P70.1）。 （3）循环群的子群是循环群（P65.4）。 （4）当时，； 当时，。 （5） （6）当时，有且仅有两个生成元； ?? 当时，有且仅有个生成元，这里表示小于且与互素的正整数个数。且当时，是的生成元。 （7）若与同态，则 1(?也是循环群； 2( 当时，； 3( 的阶整除的阶。 例3（P79、3） 三、子群 1、定义：设是群的非空子集，若关于的于是也构成群，则称是的子群，记作。 2、等价条件 （1）群的非空子集是子群(，有 (，有 （2）群的非空有限子集是子群(，有。 3、运算 （1）若，则（可推广到任意多个情形）。 （2）若，则未必是的子群。 （3）若，则未必是的子群。 （4）若，则不是的子群。 4、陪集 设，则的子集叫做的包含的左陪集；的子集叫做的包含的右陪集。 （1）一般地，。 （2）；；。 （3）。 （4）。 （5）是的一个分类，也是的一个分类。即 ，且（当时） 或 ，且（当时） 5、指数： 群的子群的左陪集（右陪集）个数叫做的指数，记作。 当时，有。 6、不变子群 设是群的子群，若，都有，则称是的不变子群，记作。 群的子群是不变子群(，有 ?????????? ?(，有。 例4（P74、1） 例5（P74、3） 1?不变子群的交是不变子群。 2?交换群的子群是不变子群。 3?群的中心是的不变子群。 4?设且有一个是不变子群，则。 7、商群 设，令，，定义 则它是的代数运算，叫做陪集的乘法。关于陪集的乘法作成群，叫做关于的商群。 当时，有。 四、群同态 设是群到的同态满射，则 1、也是群； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、； 9、； 10、。 注：若，则映射是到的同态满射，叫做自然同态。 环论部分 一、基本概念 1、环的定义 设是一个非空集合，“＋”与“。”分别是加法与乘法运算，若 （1）关于“＋”作成交换群（叫做加群）； （2）关于“。”封闭； （3），有； （4），有 则称关于“＋”与“。”作成环。 2、基本性质 （1），； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）当是交换环时，，有 。 3、环的几种基本类型 设是环 （1）交换环：，有。 例6（P89.2） （2）有单位元环：存在，使得，有。 （3）无零因子环：，当时，。 注：无零因子环的特征：无零因子环中的非零元关于加法的阶，叫做的特征。 1( 无零因子环的特征，或是或是素数； 2( 当无零因子环的元素个数有限时，的特征整除。 （4）整环：有单位元无零因子的交换环。 （5）除环：有单位元，且非零元都有逆元。 （6）域：交换的除环。 二、两类特殊的环 1、模剩余类环：。 （1）是有单位元的交换环，且是的单位元； （2），，则不是零因子(； （3）无零因子(是素数； （4），，则不是零因子(是可逆元； （5）是域(是素数。 2、多项式环：。 例7（P109.2） 三、理想 1、定义：设是环的非空子集，若 （1），有； （2），有。 则称是环的理想子环，简称理想。 注：