考研数学《概率论与数理统计》知识点规范.doc

第一章 概率论的基本概念 定义： 随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件． 事件关系： 1．AB，A发生必导致B发生． 2．AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生． 3．AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生． 4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生． 5．AB=?，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容． 6．AB=S且AB=?，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=． 事件运算： 交换律、结合律、分配率略． 德摩根律：，． 概率： 概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)． 概率性质: 1．P(?)=0． 2．(有限可加性)P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容． 3．若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A)． 4．对任意事件A，有． 5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)． 古典概型： 即等可能概型，满足：1．S包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同． 等概公式： ． 超几何分布： ，其中． 条件概率： ． 乘法定理： ． 全概率公式： ，其中为S的划分． 贝叶斯公式： ，或． 独立性： 满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立． 定理一： A，B独立，则．P(B|A)=P(B)． 定理二： A，B独立，则A与，与，与也相互独立． 随机变量及其分布 (0—1)分布： ，k=0，1 （0p1）． 伯努利实验： 实验只有两个可能的结果：A及． 二项式分布： 记X~b（n，p），． n重伯努利实验： 独立且每次试验概率保持不变．其中A发生k次，即二项式分布． 泊松分布： 记X~π（λ），，． 泊松定理： ，其中．当，应用泊松定理近似效果颇佳． 随机变量分布函数： ，． ． 连续型随机变量： ，X为连续型随机变量，为X的概率密度函数，简称概率密度． 概率密度性质： 1．；2．；3．；4．，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0． 均匀分布： 记X~U(a，b)；；． 性质：对a≤cc+l≤b，有 指数分布： ；． 无记忆性： ． 正态分布： 记；；． 性质： 1．f(x)关于x=μ对称，且P{μ-hX≤μ}=P{μX≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=()-1． 标准正态分布： ；． 即μ=0，σ=1时的正态分布X~N(0，1) 性质：． 正态分布的线性转化： 对有；且有． 正态分布概率转化： ；． 3σ法则： P=Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P=Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P=Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)内． 上ɑ分位点： 对X~N(0，1)，若zα满足条件P{Xzα}=α，0α1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点． 常用 上ɑ分位点： 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282 Y服从自由度为1的χ2分布： 设X密度函数fX(x)，，若Y=X2，则 若设X~N(0，1)，则有 定理： 设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)0(或g′(x)0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有 h(y)是g(x)的反函数；①若，则α=min{g(?∞)，g(+∞)}，β=max{g(?∞)，g(+∞)}；②若fX(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}． 应用： Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)． 多维随机变量及其分布 二维随机变量的分布函数： 分布函数(联合分布函数)：，记作：． ． F（x，y）性质： 1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）． 2．0≤F（x，y）≤1且F（?∞，y）=0，F（x，?∞）=0，F（?∞，?∞）=0，F（+∞，+∞）=1． 3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续． 4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有P{x1X≤x2，y1Y≤y2}≥0． 离散型（X，Y）： ，，． 连续型（X，Y）： ． f(x，y)性质： 1．f(x，y)≥0． 2．． 3．． 4．若f(x，y)在点(x，y)连续，则有． n维： n维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓