昆明理工大学上机安排2-数值计算规范.doc

内容： 本次上机主要练习常见的数值计算问题，包括线性代数、函数分析、数值微积分、常微分方程等，重点练习如何利用MATLAB提供的函数来实现数值计算，对于数学理论问题不做详细阐述，不清楚的请看相关数学书。 目的： 能应用MATLAB提供的强大函数进行复杂的方程组、微分、积分等运算。 注意： MATLAB数值计算的结果为数值型数据，而不是数学上的解析表达式。 线性代数： 1. LU分解 一个矩阵可以分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，称之为LU分解。LU分解是用高斯主元消去法实现的，通常要对主元位置进行交换，主元交换的方法是将被分解矩阵左乘一个由0-1构成的行交换阵。 【调用格式】 [L, U, P] = lu(X) 对矩阵X进行LU分解，并进行主元交换， [L, U] = lu(X) 对矩阵X进行LU分解，无主元交换 【说明】L为主对角元素为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为行交换矩阵。 2. 行列式和求逆 矩阵的行列式和求逆可以通过LU分解的方法求解。 【调用格式】 d = det(X) 求矩阵X的行列式 Y = inv(X) 求矩阵X的逆矩阵 例1 对矩阵进行LU分解、求行列式和求逆操作，请查看计算结果。 A=[1,2,3; 2,2,3;9,7,5]; [L1,U1]=lu(A)； %不带主元交换的LU分解，L1通常不是下三角阵 [L2,U2,P]=lu(A) %带主元交换的LU分解，L2为下三角阵 det(A) %行列式值 Y=inv(A) %矩阵求逆 3. 特征值和特征向量 eig函数用于求解矩阵的特征值和特征向量。 【调用格式】 D=eig(A) 计算矩阵A的特征值，D为特征值构成的向量 [V , D]=eig(A) 计算矩阵A的特征值对角阵D和特征向量矩阵V [V , D]=eig(A , nobalance) 当矩阵A中有与截断误差近似的数值，用本指令 例 2 计算B的特征值及特征向量，观察结果。 B = [-2, 1, 1; 0, 2, 0; -4, 1, 3]; D= eig(B); [V1,D1] = eig(B,nobalance); %计算误差为1.0e-014数量级 4. 线性方程组的解 在线性方程组中，独立方程的个数等于独立未知参数的个数，称为恰定方程；独立方程的个数大于独立未知参数的个数，称为超定方程；独立方程的个数小于独立未知参数的个数，称为欠定方程。形如Ax=b的线性方程组可以用以下方法求解： a. 左除运算符法 左除运算符法的形式为: x=A\b 对于一般的非奇异矩阵A，可以求得唯一数值解。欠定方程和超定方程，可以获得最小二乘解。 b. 广义逆法 如果用左除运算符求解的时候出现提示矩阵A为非奇异的警告或者解中出现Nan，则可以采用广义逆法，形式为: x= pinv(A)*b c. 符号计算法 可以求得方程组的符号解，对于欠定方程可以求得具有自由变量的解。 例3 求以下3个方程组的解,观察解是否正确。 I： II： III： 解：方程I为恰定方程，用左除运算符可以求解 A1=[4,6,3; 2,3,4; 5,2,3]; b1=[13; 9; 10]; x1=A1\b1 方程II为欠定方程，用3种方法分别求解 A2=A1; b2=b1; A2(3 , : )=[]; b2(3)=[]; x2=A2\b2 %左除运算符法，求得一组特解，解中非零元素最少 x2 = 0 1.6667 1.0000 x2=pinv(A2)*b2 %广义逆法，求得一组特解 x2 = 0.7692 1.1538 1.0000 x2=solve(4*x+6*y+3*z=13,2*x+3*y+4*z=9,x,y,z); %符号运算法求通解 x2=[x2.x; x2.y; x2.z] x2 = 5/2-3/2*y y 1 方程III为超定方程，用左除运算符法求最小二乘解 A3=A1; b3=b1; A3(: , 3 )=[]; x3=A3\b3 x3 = 1.4545 1.3636 函数分析 1. 多项式的根 通过roots函数来求取多项式全部的根。 【调用格式】 r = roots(p ) 多项式求根函数 【说明】p为多项式的系数行向量，r为多项式所有根构成的列向量。 2. 一元函数零点 fzero函数求取一元函数的精确零点。 【调用格式】 [x, fval, exitflag, output] = fzero(fun, x0, options) 一元函数零点的完整调用格式 x = fzero(fun, x0) 一元函数零点的最简调用格式 【说明】