中考数学冲刺：总复习七　解直角三角形.docVIP

中考冲刺：总复习七　解直角三角形 　　一、知识点精讲：　　1.同角三角函数的关系　　sin2α+cos2α =1, tanα·cotα =1, tanα=, cotα=。　　2.解直角三角形 　　(1).直角三角形角的关系A+∠B=90° 　　(2).直角三角形边的关系a2+b2=c2 　　(3).直角三角形的边角关系　　sinA=cosB=, sinB=cosA=, tanA=cotB=, tanB=cotA=。 　　3.应用问题　　(1).仰角、俯角的概念　　如图1所示，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。　　　　　(2).坡度（坡比）、坡角的概念　　如图2所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i=tanα=。这里，α是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角。 　　二、例题分析：　　例1.已知sinα·cosα=, 且0°α45°，则cosα-sinα的值为（　　 ）　　A、　　B、-　　C、　　D、- 　　解：0°α45°，cos αsinα, ∴ cosα-sinα0, 　　cosα-sinα=。 故选A 　　说明：三角函数的计算除了要熟记特殊三角函数值外，还应熟练运用sin2α+cos2α=1, tanα·cotα=1，互余角的三角函数关系，锐角范围内三角函数值随角度的增减规律等。 　　例2.若锐角A满足tan A-cot A=2, 则tan2A+cot2A=________。 　　解： tanA-cotA=2, 　　 tanA-=2, ∴tan2A-2tanA-1=0, 　　 tanA=1±。 A是锐角， 　　 tanA=1+,　 cotA==-1, 　　 tan2A+cot2A=(1+)2+(－1)2=6。 　　说明：利用同角关系tanα·cotα=1转化已知条件，可以求出tanα或cotα，问题容易解决。 　　方法二：将等式tanA－cotA=2两边平方，得到：tan2A+cot2A－2＝4，所以：tan2A+cot2A＝6。若能通过变形得到所求内容,方法相对简单。 　　例3.已知ΔABC的两边长a=3, c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个正整数根之一，求sinA的值。 　　分析:这个题目是三角和方程的综合题目。利用方程的根为正整数,可以求出b。 　　解：设x1, x2是关于x的方程x2－4x+m=0的两个正整数根， 　　x1+x2=4, 　　 x1=1, x2=3或x1=x2=2或x1=3, x2=1, b只能取1，2，3， 　　2b8, ∴b=3。 　　如图所示，过C作CDAB于D，　　 AC=BC=3， AD=AB=，　　在RtΔACD中，CD=，　　 sinA=。 　　说明：在非直角三角形中，作边上的高，构造直角三角形来求内角的三角函数值，是常用的办法。 　　例4.如图，某县为加固长90m, 高5m，坝顶宽为4m，迎水坡和背水坡的坡度都是11的横断面是梯形的防洪大坝。要将大坝加高1m，背水坡坡度改为11.5。已知坝顶宽不变。（1）求大坝横截面面积增加多少m2？（2）要在规定时间内完成此项工程，如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成，现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成，求原来规定多少天完成和每天完成的土方数。 　　解：（1）过C作CHBG于H，过F作FKBG于K，过E作EJBG于J，则BG=2BH+CD=2CH+CD=2×5+4=14，　　 S梯形BGDC=(CD+BG)·CH=(4+14)×5=45(m2) 　　AG=AK+EF+JG 　　　=1.5FK+EF+EJ 　　　=1.5×6+4+6=19　　 S梯形AGEF=(EF+AG)FK 　　　　　　　　=(4+19)×6 　　　　　　　　=69(m2) 　　大坝横截面面积增加69-45=24(m2) 　　（2）设原来规定x天完成，那么甲单独做需(x+10)天完成，乙单独做需(x+6)天完成，根据题意，得：　　=1。 解得：x1=18, x2=-8。 　　经检验x1=18, x2=-8都是原方程的根，但天数不能为负，所以只取x=18。 　　(24×90)÷18=120(m3) 　　答：原来规定18天完成，原计划每天完成120m3土方。 　　说明：仰角、俯角、坡度是是实际生活中常用到的概念，并且在中考中常会考到，应该引起足够重视，对这些概念要弄清弄懂，第二问是工程问题。 　　例5、如图，抛物线y=x2-px-q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知ACB=90°