中考数学总复习六：和差倍分、平行与垂直.docVIP

中考总复习六：和差倍分、平行与垂直一、和差倍分问题1．如图①，在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45 °,则有结论EF=BE+FD成立；　　（1）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的　　　　 一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；　　（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点　　　　 F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，　　　　 请写出它们之间的数量关系，并证明.　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：（1）结论EF= BE+FD成立. 　　　　　　 延长EB到G，使BG=DF，连接AG.　　　　　　 ∵∠ABG=∠D=90°, AB=AD，　　　　　　 ∴△ABG≌△ADF.　　　　　　 ∴AG=AF且∠1=∠2．　　　　　　 ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD．　　　　　　 ∴∠GAE=∠EAF．　　　　　　 又AE=AE，　　　　　　 ∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF．　　　　　　 即EF=BE+BG=BE+FD． 　　　　（2）结论EF=BE+FD不成立，　　　　　　 应当是EF=BE-FD． 　　　　　　 在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．　　　　　　 ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°，　　　　　　 ∴∠B=∠ADF．　　　　　　 ∵AB=AD，　　　　　　 ∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF．　　　　　　 ∵∠1=∠2，　　　　　　 ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD．　　　　　　 ∴∠GAE=∠EAF．　　　　　　 ∵AE=AE，　　　　　　 ∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF　　　　　　 即EF=BE-BG=BE-FD．　　　　　　 此题可有如下变式：　　2．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且，APEF于点P. 　　(1)求证：AP=AB；　　(2)若AB=5，求的周长。　　解：（1）将绕点A按逆时针方向旋转，得　　　　　　 ，　　　　　　 ，即F、D、G在一条直线上.　　　　　　 AE=AG，AF=AF，，　　　　　　 .　　　　　　 ,　　　　　　 　　　　　　 即AP=AB.　　　　（2），EF=FG.　　　　　　 的周长=CE+EF+CF=CE+FG+CF, DG=BE,　　　　　　 的周长=CE+EF+CF =BC+DC=52 =10.　　3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°,确定AD+AE与BC的关系　　解: 有BC=AD+AE.　　　　连结AC,过E作EF∥BC交AC于F点. 　　　　则可证 △AEF为等边三角形.　　　　即 AE=EF及∠AEF=∠AFE=60°.　　　　所以 ∠CFE=120°. 　　　　又 AD∥BC,∠B=60°, 　　　　故 ∠BAD=120°. 　　　　又 ∠DEC=60°, 　　　　所以 ∠AED=∠FEC. 　　　　在△ADE与△FCE中, 　　　　∠EAD=∠CFE,AE=EF,∠AED=∠FEC,　　　　所以 △ADE≌△FCE. 所以 AD=FC. 　　　　则 BC=AD+AE.　　4．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 　　结论：AC=BD+CD．　　证法一：延长BD至，使得D=DC．　　　　　　∵DE平分∠BDC，∴∠1=∠2．　　　　　　∵ED⊥AD，　　　　　　∴∠ADC=90°+∠1，∠3=90°-∠2．　　　　　　∵∠AD=180°-∠3=90°+∠2．　　　　　　∴∠ADC=∠AD．　　　　　　在△ADC和△AD中，　　　　　　　　　　　　∴△ADC≌△AD（SAS）．　　　　　　∴ AC=A．　　　　　　∵ AB=AC，∴ AB= A．　　　　　　∵∠ABD=60°，∴△AB是等边三角形．　　　　　　∴ A =B，∴ AC =BD+CD．　　证法二：延长CD至，使D=DB．　　　　　　∵ED⊥AD，　　　　　　∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°．　　　　　　∵DE平分∠BDC，　　　　　　∴∠1=∠2．　　　　　　∴∠