九年级数学三角形和相似形.docVIP

三角形和相似形 　　一、重点，难点提示：　　1.三角形全等的证题思路　　 　　2.等腰三角形的性质与判定 　 判定 性质 等腰三角形 　　1.有两边相等　　2.等角对等边　　3.“三线合一”的逆定理 　　1.有两腰相等，两底角相等　　2.“三线合一”定理　　3.轴对称图形，有一条对称轴 等边三角形 　　1.三边都相等　　2.三角都相等　　3.一角为60°的等腰三角形 　　1.三边相等，三角相等　　2.内心和外心重合 　　3.轴对称图形，有三条对称轴 　　提示：“三线合一’’的应用是等腰三角形的重点,要多加练习 ,有时要做辅助线-----底边上的高,以便使用这个性质. 　　3、Rt知识注意问题　　(1)勾股定理常要用到 　　(2)各边之间的关系：　　由ABC∽△ACD∽△CBD得： 　　CD2=AD·BD 　　AC2=AD·AB 　　BC2=BD·AB 　　(3)直角三角形中线定理也是常用到而许多同学容易忘记的.　　如图:由C=90°，D为AB中点，得CD=AD=BD=AB　　 　　4、相似三角形常用基本图形　　　　这两种图形中比例线段的相互转化要迅速准确。 　　二、例题分析： 　　例1.如图，A=32°，B=45°，C=38°，则DFE=（　　）　　A、120°　　B、115°　　C、110°　　D、105° 　　说明：首先，在ΔBDC中可求出BDC的度数。其次，由于BDC是ΔAFD的一个外角，故可求出AFD的度数。最后利用AFD与DFE的互补性求得DFE的度数，选B。 　　例2.如图，已知ΔABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，则BD等于（　）　　A、4　　B、6　　C、8　　D、2 　　解： DC=2，AC=10， 　　 AD=AC-DC=8，　　 BD==6，选B。 　　说明：三角形中的高线常与直角三角形的有关性质联系在一起，有时解题时即通过作高线构造直角三角形。 　　例3.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12，则等腰三角形顶角为（　）　　A、30°　　B、60°　　C、150°　　D、30°或150° 　　分析：如图所示，在等腰ΔABC中，CD为腰AB上的高，CDAB=1∶2，由于AC=AB，CD∶AC=1∶2，在RtADC中，DAC=30°,则有BAC=30°与150°。 　　说明：涉及到与三角形的高有关的问题时，要注意分类讨论，本例分锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情形来考虑。 　　例4.ΔABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（　）　　A、1AB29　　B、4AB24　　C、5AB19　　D、9AB19 　　分析：如图，延长中线AD至E，使DE=AD，则AE=14，在ΔAEC中，9CE19，又可证ΔDECΔDAB得，CE=AB。所以9AB19，选D。 　　说明：在解与三角形的中线有关的问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形等知识来求解。这也是一种常见的作辅助线的方法,这种辅助线的作法叫倍长中线。 　　例5.如图，已知ABBC，DCBC，E在BC上，且AE=AD，AB=BC。求证：CE=CD。 　　证明：如图，作AFCD的延长线于F， 　　 AB⊥BC，FCBC，AB=BC， 　　 AF=BC=AB=CF，　　又AE=AD，　　 RtΔABE≌RtΔAFD 　　 DF=BE 　　 BC-BE=CF-DF 　　即CE=CD。 　　证明：寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形。常见辅助线有：连结某两个已知点；过某已知点，作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；作一个角等于已知角。 　　例6.如图，BDDC=5∶3，E为AD的中点，求BEEF的值。 　　分析：应设法在已知比例式BDDC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线。 　　解：过D作DGCA交BF于G，　　则， 　　 E为AD中点，DGAF，　　 ΔDGE≌ΔAFE，EG=EF，　　　　。 　　构造平行线，用基本图形转化比例线段，是相似问题常用到的。 　　例7.如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形=40cm2, SΔABESΔDBA=1∶5，则AE的长为（ 　）　　A、4cm　　B、5cm　　C、6cm　　D、7cm 　　解：BAD=90°，AEBD， 　　 ΔABE∽ΔDBA 　　 SΔABE∶SΔDBA=AB2∶DB2 　　 SΔABE∶SΔDBA=1∶5，AB2∶DB2=1∶5