九年级数学关于圆的综合问题（二）人教版知识精讲.docVIP

初三数学关于圆的综合问题（二）人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 关于圆的综合问题（二） 综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 几何中关于圆的综合题大致可分为： （1）以几何知识为主体的综合题； （2）代数、几何知识相结合的综合题； （3）圆中的探索型问题； 我们通过下面的例题对以上各类问题进行分析。 【典型例题】 （一）以几何知识为主体的综合题。 例1. 如图：⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的切线，与CA延长交于D，且BD2＝DA2＋DA·AB，△ABD的外接圆交BC于E， （1）求证：AB＝AC （2）求证：BD＝EC （3）若△ABD的周长等于AC＋BC， 分析：本题（1）易证。 利用（1）题的结论证（2）题，我们发现如果BD＝EC成立，必有△ABD≌△AEC， 所以我们只需连结AE，并证得∠2＝∠C即可。 （3）题若结论成立，需△ABE∽△BAC，因此证明∠1＝∠C是本题解出的关键。 解：（1）∵BD2＝DA·DC＝DA（DA＋AC）＝DA2＋DA·AC， 由已知得：BD2＝DA2＋DA·AB， ∴AC＝AB （2）连结AE， ∵BD是⊙O的切线，∴∠2＝∠C 又∵∠AEC是圆内接四边形AEBD的外角，∠AEC＝∠D ∵AB＝AC，∴△ADB≌△AEC ∴BD＝EC （3）由已知AB＋BD＋AD＝AC＋BC＝AC＋BE＋EC ∵AB＝AC，BD＝EC，∴AD＝BE 又∵△ADB≌△AEC，∴AD＝AE，∴AE＝BE，∠1＝∠3 ∵AB＝AC，∴∠3＝∠C，∴∠1＝∠C ∴△BAE∽△BCA 又∵∠CAE＝∠DBC＝∠2＋∠3＝2∠3 ∠CEA＝∠1＋∠3＝2∠3 ∴∠CAE＝∠CEA ∴CE＝CA 即AB＝EC 由AB2＝BE·BC，∴EC2＝BE·BC＝BE（EC＋BE） ∴BE2＋EC·BE－EC2＝0 点拨：本题是一道典型的几何综合题，把中学几个阶段学到的知识有机的组合到一起，图形中相似三角形、全等三角形、等腰三角形综合到一起，由果索因的分析方法是本题的基本方法，而最后的求值，则应综合我们前面证过的结论，得到关于BE和EC的关系式，最后利用解一元二次方程的方法求解。 二、与函数知识相结合的综合题 例2. 圆的圆心D是该抛物线的顶点，小圆的圆心B是该抛物线与x轴正半轴的交点，大圆与x轴相切于E，小圆与y轴相切于O，两圆外切，且大圆的半径是小圆半径的4倍。 （1）求ac＋b的值； 解：（1）设小圆半径为r，则大圆半径为4r， ∴BD＝5r，DE＝4r， 由勾股定理得EB＝3r， 例3. 又抛物线的顶点为P（2，4）， （1）求此抛物线解析式及A，B两点坐标； （2）设过P，C两点的直线与x轴交于点Q，求Q点坐标； （3）设过B，C，O三点的圆O与过P，C两点的直线相交于C，E两点，求tan∠COE的值。 解：（1）∵抛物线顶点P坐标为P（2，4） ∴可设抛物线解析式为： 设A（x1，0），B（x2，0），C（0，4a＋4）， ∴A（－2，0），B（6，0） （2）设过P、C的直线为y＝mx＋n， ∵P（2，4），C（0，3） （3）连结OE，BE，BC ∵四边形COBE内接于⊙O， ∴∠BEC＝∠BOC＝90°，而∠COE＝∠CBE ∴Rt△QOC∽Rt△QEB （三）圆中的探索型问题 探索型数学问题一般具有以下特征： （1）给出了条件，但有怎样的结论却是未知的，有待确定的； （2）给出了结论，但要去探求结论成立应具备的条件，解题方法的寻求需要同学有独立创新的精神； ①可先提出特殊情况进行研究，再要求归纳，猜测和确定一般结论； ②先对某