九年级数学圆的总复习.docVIP

圆的总复习 　　一、内容综述 　　本章的重点是圆的有关性质，直线与圆、圆与圆的位置关系，特别是相交与相切的判定与性质，以及圆有关的计算。要抓住以下几个方面的内容： 　　由圆的对称性和旋转不变性引出了许多重要的定理，垂径定理是其中比较重要的一个。一般方法是构造直角三角形，常常与勾股定理和解直角三角形知识相结合使用。 　　圆周角定理、弦切角定理及其推论的应用使圆与相似三角形的知识紧密相联，正因为圆这一章经常要用到前面的几何知识，所以，有利于我们回顾与复习过去的定理和常用的解题方法，有利于几何知识的综合运用。 　　直线与圆、圆与圆的位置关系，都是用圆心到直线（或圆心到圆心）的距离与圆的半径的大小关系来判定，特别要重视圆的切线的应用。在读题和证题中要重视已知条件中的关键词，例如已知条件中给出圆的切线，一般有两种思考途径：一是连结切点和圆心，利用切线垂直于过切点的半径来解决问题；二是利用弦切角来找所夹弧上的圆周角转化等角关系。又如，已知条件中给出圆的直径，常常联想到“直径所对的圆周角为直角”；若有弦垂直于直径，应联想到垂径定理。 　　添加辅助线是几何证明中的重要手段，圆中常添的辅助线有连结半径，利用切线性质以及直角三角形解题；构造弦切角，利用角的转换证明相似三角形和比例线段；连结两圆的公共弦，沟通两圆间的角和弦之间的关系；对于条件中给出的相切两圆，常可过切点作公切线，利用弦切角定理、切线长定理或切割线定理进行计算和证明。 　　二、例题精选： 　　例1．如图1，AB是O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，BCD=68°，求AED的度数。 　　分析：本题的关键之处为“AB是直径”，我们可以利用“直径所对的圆周角为直角”，联想到要连结AC，推知ACD=22°，再利用所对的圆周角A=36°，从而求出ΔAEC的外角AED的度数。另外还可以根据弧来求角，为半圆，由的度数为72°，推知的度数为108°，它所对的圆周角B=54°，从而求出CEB。 　　　 　　解法一：如图2，连结AC，由AB是直径，得ACB=90°，而BCD=68°，所以ACD=22°，又因为的度数为72°，得A=36°，所以AED=∠ACE＋A＝58°。 　　解法二：由AB是直径，得为180°，其中为72°，推知为108°，所以B=54°。由三角形内角和知：CEB=180°－（CBE＋BCD）＝58°，即AED=58°。 　　解法三：如图3，过点B作BF//CD交O于F，所以，它们都等于72°，又因为BCD=68°，所以为136°，故为44°，从而为116°，它所对的圆周角ABF=58°，故利用同位角关系得AED=∠ABF=58°。 　　说明：以上三种方法都是想办法将所求的角进行转化，而转换的角度不同，但关键的是转换为圆周角这种思想。 　　例2．已知：如图　4所示，在O中过弦AB的两个端点作AB的垂直弦AC和BD，直径MN分别交AC、BD于E、F。求证：OE=OF（或ME=FN）。 　　分析：本题要证两条线段相等，常用证线段相等的方法很多，由图形知OE、OF在一直线上，而CA、DB同垂直于AB，则不妨过O作OHAB，出现一组平行线，由垂径定理得AH=HB，再由平行线等分线段定理可证得OE=OF；也可以将OE、OF分别看成两个三角形中的边，再利用全等来证明线段相等，由于A=90°，连结BC，可知BC过圆心O，再证ΔEOCΔFOB，即可证得OE=OF。 　　 　　证法一：如图5，过O作OHAB于H，由垂径定理得AH=BH，又因为ACAB，DBAB，所以AC//OH//BD，H为AB中点，故O为EF的中点，即OE=OF（于是可证ME＝NF）。 　　证法二：如图6，连结BC，因为ACAB，A=90°，所以BC为直径，必过O点。 　　在ΔEOC和ΔFOB中，OB=OC，1=∠2，又ACAB，BDAB，得AC//BD，　　于是3=∠4，故ΔEOCΔFOB，则OE=OF。 　　说明：第一种方法可以一组出现平行线，又有垂径定理所以用起来很方便，第二种方法是证明线段相等的一般方法。 　　例3．如图7所示，点C是O的直径AB延长线上一点，CD切O于D，DEAB于E，求证：CDB=∠EDB。　　 　　分析：本题要证角相等，可以先找一个等角代换（1）读题时注意到“CD切O于D”，可联想弦切角定理，连结AD，找到A与CDB和EDB的关系；（2）读题时注意到“DEAB，AB是直径”，可联想垂径定理，延长DE交O于F；（3）读题时注意到“CD切O于D”，可联想到切线的性质，连结OD得ODDC，利用“等角的余角相等”来证明本题的结论。 　　 　　证法一：如图8，连结AD，因为AB是直径，ΔABD是直角三角形，又因为DEAB，所以1=∠A，由CD切O于D知2