九年级数学期末复习：一元二次方程.docVIP

期末复习：一元二次方程 　　一、内容综述： 　　 　　二、例题分析： 　　例1.选择简便的方法解下列方程： 　　(1) (3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) 　　(2) 4x2-20x+25=7 　　(3) 2(1+x)2=20.48 　　(4) 3x2-4x-1=0 　　解：(1)(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) 　 　　　　(3x-1)(x-2)-(4x+1)(x-2)=0 　 　　　　(x-2)(3x-1-4x-1)=0 　　　 　　(x-2)(-x-2)=0 　 　　　 x1=2, x2=-2. 　　注意：方程的左、右两边都有因式(x-2)，不能把方程两边同时除以(x-2)，这样变形会丢根，若把括号打开，整理成一般式再去解，较为麻烦，应选用因式分解法解。 　　(2)方程左边是完全平方式，利用直接开平方法解较为简便。 　　(2x-5)2=7, 2x-5= 或 2x-5=- 　　 x1=, x2=. 　　(3)方程左边不能打开括号，化为一般式，较为复杂，应把方程两边同除以2，再用直接开平方法求解： 　　(1+x)2=10.24, 　　1+x=±3.2, 　　 1+x=3.2 或 1+x=-3.2, 　 　　x=2.2 或 x=-4.2. 　　(4)方程左边在有理数范围内不能进行因式分解，用公式法，3x2-4x-1=0， 　　x==. 　　 x1=,x2=. 　　例2.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 　　分析：根的存在性由根的判别式确定，所以先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 　　证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) 　　　　　　=4m2-4(m4+5m2+4) 　　　　　　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) 　　　　　　=-4(m2+2)2 　　 不论m取任何实数(m2+2)20 　　 -4(m2+2)20,即Δ0. 　　 关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 　　例3.在ΔABC中，C=90°，a、b、c分别为ΔABC的三边，且a-b=2, bc=3∶5,且二次方程x2-2(k+1)x+k2+12=0两实根的平方和是ΔABC斜边的平方，求k的值。 　　分析：题目中给了边之间的两个关系，a-b=2, bc=3∶5，再利用勾股定理a2+b2=c2，可求出a、b、c,根据方程两实根的平方是ΔABC斜边的平方的条件，列出含k的关系式，就可以求出k值。注意要检验二次方程是否有实根。 　　解：根据题意，在直角三角形ΔABC中， 　　 　　设b=3k, c=5k, a=4k, 　　 4k-3k=2, ∴ k=2. 　　 a=8, b=6, c=10. 　　又 二次方程x2-2(k+1)x+k2+12=0两根为x1,　x2, 　　 x12+x22=c2, x1+x2=2(k+1), x1x2=k2+12, 　　 (x1+x2)2-2x1x2=100 　　即：[2(k+1)]2-2(k2+12)=100 　　 整理得k2+4k-60=0, 　　 k1=-10, k2=6. 　　当k1=-10时，Δ=4(k+1)2-4(k2+12)0，舍去。 　　当k2=6时，Δ=4(k+1)2-4(k2+12)0,Δ0, 符合题意， 　　 k的值为6。 　　说明：由根与系数的关系得到关于所求字母的方程，从而求出字母的取值，是常见的方法，在一些综合题目中，也常涉及。 　　例4.已知：关于x的一元二次方程mx2-nx+2=0两根相等，方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍，求(1)m、n的值；（2）判断方程x2-(k+n)x+(k-m)=0是否有实根。 　　解：（1）关于x的一元二次方程mx2-nx+2=0两根相等， 　　 Δ=n2-8m=0, 　　又 方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍， 　　设一根为x1, 则另一根为3x1, 　　 x1·3x1=3n, ∴ x12=n, 　　又 x1+3x1=4m, ∴ x1=m, ∴ m2=n 　　. 　　（1）代入（2）m4-8m=0, m=0或m=2. 　　 关于x的一元二次方程，mx2-nx+2=0(m≠0), 　　 m=0舍去， 　　 当m=2, n=4. 　　（2） 方程x2-(k+n)x+(k-m)=0有实根， 　　 Δ=(k+n)2-4(k-m) 　 　　　=(k+4)2-4(k-2) 　 　　　=k2+8k+16-4k+8 　 　　　=k2+4k+24